Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
Я = а2у\ + abyiy2 + Ь2у\ -\-Ц-(sinxi - sina:2).
ау\ ~ Ьу2
Гамильтонова система с таким гамильтонианом интегрируется методом
разделения переменных: аналитические функции F\ = = агу\ - ау\Н + esinxx
и F2 = Ь3?/3 - Ьу2Н + es\nx2 составляют полный набор независимых
интегралов.
В этой задаче а = (1,0)т, (3 - (0,1)т, поэтому условие (5.3) принимает
вид b/а ф -т/2 при всех целых т ^ 0. "Предельная" прямая (а, у) = 2ау\ +
Ьу2 - 0 не совпадает с прямой ау\ - Ъу2 = 0, в точках которой не
определен гамильтониан (ср. с теоремой 3). Однако интегрируемость имеет
место для всех (в том числе и иррациональных) значений отношения Ь/ а.
Пусть а', а",... - элементы множества Д, расположенные между вершинами а
и (3 (относительно лексикографического порядка -< в Z71). Ясно, что
каждый из векторов а1, а",... линейно зависим с а. Модифицируя
рассуждения § 5, можно доказать справедливость теорем 2 и 3 и в том
случае, когда коэффициенты ha, ha>, ha",... ,hp постоянны (при этом
остальные коэффициенты Фурье могут быть непостоянными аналитическими
функциями от переменных у\,..., уп).
3. Если возмущающая функция Н\ не является тригонометрическим полиномом,
то задача о наличии дополнительных интегралов гамильтоновой системы
существенно упрощается: неинтегри-
213
Глава IV. Неинтегрируемость гамильтоновых систем
руемость возмущенной системы, как правило, удается установить после
конечного числа шагов теории возмущений (см. § 4).
Рассмотрим для определенности случай двух степеней свобо-
1 2
ды. Итак, пусть Я = Я0 + еЯь где Я0 = - ]Г ajkyjyk, Я, =
= ^ hmcl(m'x\ hm = const. J,k=i
mez2
Теорема 1. Пусть n = 2 и множество Пуанкаре Р1 состоит всего из двух
прямых. Тогда уравнения Гамильтона имеют дополнительный формальный
интеграл в том и только том случае, когда эти прямые ортогональны (в
метрике ( , )).
Доказательство достаточности. Так как Р1 состоит из двух прямых, то в
формуле (4.6) т = Ато и сг = дао, где то, од 6 Z2; А, р - целые числа.
Ортогональность прямых, составляющих множество Р1, означает
ортогональность векторов то и его. Покажем, что в этом случае
гамильтонова система интегрируется методом разделения переменных.
Действительно, пусть то = (тьт2), сг0 = (сг],ег2). Положим Х\ = (nxi +
т2.т2), Х2 = (плац + + а2х2). Это однородное преобразование угловых
координат однозначно продолжается до однородного канонического
преобразования х. у -+ X, Y. В новых переменных Я = ^(АпУ\ + 2A12Y1Y2 + +
П22Т22) + ?{f(Xi) + g{X2)), где Aij - const; f,g - аналитические 2тт-
периодические функции. Так как (т0,его) = 0, то Аи = 0. Следовательно,
гамильтонова система имеет два линейных по е интеграла: \AnY^ + ef(X{) и
\A22Y^ + ед{Х2).
Доказательство необходимости. Рассмотрим сначала случай, когда
возмущающая функция Яi - тригонометрический полином. В качестве вершин
множества Д можно взять векторы a = ±А"то и (3 = ±ц"0[|, где А* и ц"-
некоторые положительные целые числа. Пусть (а, а) ^ 0 (случай (а, а) ^ 0
рассматривается аналогично). Если (а,(3) Ф 0, то без ущерба для общности
можно считать, что (а,Д) > 0 (в противном случае заменим (3 на - (3). Но
тогда т(а,а) + 2{а,(3) > 0 при всех целых т > 0. Следовательно, если
гамильтонова система имеет дополнительный интеграл, то (по теореме 2 § 5)
(а, в) = 0. Последнее условие, очевидно, эквивалентно условию (то,0-о) =
0.
Рассмотрим теперь оставшийся случай, когда функция Яi не является
многочленом. Воспользуемся результатами § 4. Так как то и n-о линейно
независимы, то при фиксированном к = Ат0 + дао числа А и д определяются
однозначно. По условию функция Hi не полином, следовательно, среди чисел
А и д бесконечно много различных. Если (ть,0о) ф 0- то из формулы (4.6)
вытекает, что Р2 состоит из бесконечного числа различных прямых и поэтому
•211
§ 6. Некоторые обобщения
является ключевым множеством для класса функций, аналитических в R2 =
{yi, уг}¦ Для завершения доказательства отсутствия формального интеграла
осталось воспользоваться теоремой 1 из § 4. Утверждение доказано.
4. Теорема 1 допускает (с некоторыми уточнениями) обобщение на системы с
п > 2 степенями свободы. Предположим, что все точки множества А
расположены на I ^ п прямых, проходящих через начало координат, причем их
направляющие векторы линейно независимы. Тогда можно утверждать, что
гамильтонова система с функцией Гамильтона Но + еН\ имеет п однозначных
аналитических интегралов, независимых при всех достаточно малых значениях
е, в том и только том случае, когда эти I прямых попарно ортогональны (в
метрике ( , )). При / = 1 система, очевидно, интегрируема.
В качестве примера рассмотрим систему с гамильтонианом
1 п
Н = - У* + ?[f(xi - ж2) + • • ¦ + f{xn-1 - хп)) , (6.1)
"=1
где / - вещественная аналитическая 27г-периодическая функция. Эта система
описывает динамику "непериодической" цепочки п частиц на прямой. Кроме
интеграла энергии, уравнения движения имеют еще один интеграл у\ + ... +
уп: сохраняется суммарный импульс системы взаимодействующих, частиц.
