Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
(8.1) по 6z. В результате получим линейную систему с р-периодическими
коэффициен-
dv
тами: (bz)' = A6z, А = - . Пусть B(t) - фундаментальная
oz z0(t)
матрица этой системы (В = АВ, В(0) = Е), и С = В(р). Ясно, что Cvо = щ,
где щ = г;(гь(0)). Следовательно, единица является одним из собственных
значений матрицы С. Несложно показать, что остальные ее собственные
значения совпадают с мультипликаторами периодического решения гь(0-
2. Теорема 1 (Пуанкаре [146]). Если уравнения (8.1) допускают к
интегралов, независимых в некоторой точке периодической траектории 7, то
по меньшей мере к мультипликаторов равны единице.
Доказательство. Пусть H(z) - интеграл системы
(8.1). В переменных х mod 27Г, у эта функция представляется в
220
§ 8. Рождение изолированных периодических решений
виде Я = Но(х) + (y,h(x)) + о(у); здесь функция Я0 и ковектор h 27г-
периодически зависят от х. Дифференцируя в силу системы
(8.4), получим Я = h) + (у- ш + °Ы) = °-
Отсюда Но = const, и
h = = -QTh . (8.7)
дх
Линейные системы (8.5) и (8.7) сопряжены друг другу. Поэтому
(h(t), u(t)) = const . (8-8)
Ясно, что функция h р-периодична по t, и u(t + р) = Pu(t), где Р -
матрица монодромии. Согласно (8.8), (h(0),u(0)) = = (h(p),u(p)) =
(h(0),Pu(0)) = (PTh(0),u(0)). Так как и(0) - произвольный вектор, то
PTh(0) = h(0). Следовательно, /i(0) - собственный вектор матрицы Р с
единичным собственным значением. Согласно условию теоремы, имеется к
таких линейно независимых векторов. Поэтому по крайней мере к собственных
значений матрицы Рт (а, значит, и матрицы Р) равны единице.
Теорема 1 подсказывает следующий способ доказательства неинтегрируемости
динамических систем. Предположим, что совокупность невырожденных
периодических решений аналитической системы (8.1) образует ключевое
множество для класса функций, аналитических на М. Тогда, очевидно,
система (8.1) не допускает непостоянных интегралов, аналитических на всем
М.
Теорема 2. Предположим, что динамическая система
(8.1) допускает такие k + 1 полей симметрий, которые линейно независимы
хотя бы в одной точке периодической траектории 7. Тогда по меньшей мере к
мультипликаторов равны единице.
Действительно, пусть система (8.4) допускает группу симметрий - фазовый
поток системы уравнений
x' = V(x,y), y'=W{x,y), (8.9)
правая часть которой 27г-периодична по х. Вычислим коммутатор
д д д
дифференциальных операторов (ы + f)--|- №у + д)-л~ и У т.-Н Q ох оу
ох
+ 1У - и приравняем нулю коэффициент при д/ду, положив у = 0. оу
В результате получим равенство
dw _
w = = fiw , (8.10)
дх
где w(x) = W(x,0). Уравнения (8.10) совпадают с (8.5). Следовательно,
w(p) = Pw(0). Функция w(t) р-периодична, поэтому
221
Глава IV. Неинтегрируемость гамильтоновых систем
гп(0) - собственный вектор матрицы монодромии с единичным собственным
значением.
При w(0) = 0 поле симметрий касается у. Однако если имеется А:+1 линейно
независимое поле симметрий, то матрица Р имеет к линейно независимых
векторов с собственным значением единица; тогда к мультипликаторов
периодической траектории у равны 1.
Следствие 1. Во всех точках невырожденной периодической траектории любое
поле симметрий линейно зависимо с полем v.
Это утверждение, отмеченное в работе [101], имеет прозрачный
геометрический смысл. Действительно, пусть 7 - невырожденная замкнутая
траектория. Тогда, согласно лемме 1 из п. 1, в малой окрестности 7
система (8.1) не имеет других замкнутых траекторий с близким периодом.
Если и - поле симметрий, то д^(у)- замкнутая траектория уравнений (8.1),
причем при малых т ее период мало отличается от периода 7. Следовательно,
д^(7) = 7 при всех г, поэтому в точках траектории 7 векторы и и(r) линейно
зависимы.
Через Г обозначим объединение всех невырожденных замкнутых траекторий
системы (8.1).
Следствие 2. Пусть М -компактное аналитическое многообразие, v -
аналитическое векторное поле на М. Если Г - ключевое множество для класса
СШ(М), то любое аналитическое векторное поле симметрий и системы (8.1) во
всех точках М линейно зависимо с v. Если, кроме того, v ф 0, то и = Л г,
А = = const.
Действительно, по следствию 1 векторы и, v зависимы во всех точках
множества Г. Пусть теперь Ф - произвольная аналитическая 2-форма на М.
Так как Ф(u,v)-аналитическая функция на М, равная нулю на Г, и Г -
ключевое множество, то Ф (u,v) = 0. Воспользуемся следующим фактом: пусть
Фо - заданная внешняя форма в точке zo € М; тогда существует
аналитическая дифференциальная форма Фг на М, которая при z = zo
совпадает с Фо-Отсюда вытекает зависимость полей и, v во всех точках М.
Утверждение о возможности продолжения формы Фо на все М доказывается с
помощью известного результата о вложении компактного аналитического
многообразия М в К*. Пусть Фо-ограничение 2-формы <ро, заданной в точке
zo S М С К*, на TZoM. Форма (ро, очевидно, продолжается до аналитической
формы р на всем Rk (пусть, например, все ее коэффициенты постоянны).
Остается ограничить форму <р на М.
