Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
частный случай теорему Пуанкаре из п. 2 § 8.
Доказательство теоремы 1. Разложим функцию h(x) в ряд Фурье:
h - ^/1дехр[г(А,х)], А ? Zfc, h\ERm. (9.7)
Подставляя этот ряд в уравнение (9.4) и приравнивая коэффициенты при
одинаковых гармониках, получим цепочку соотношений
QTh\ = - г(А, (v)h\. (9.8)
Следовательно, /гд-собственный вектор матрицы fiT с собственным значением
-г( А, од).
234
§ 9. Невырожденные инвариантные торы
Предположим, что имеется не более г - 1 различных ненулевых собственных
векторов h\, удовлетворяющих (9.8). Частоты рационально несоизмеримы,
поэтому числа (Х,ы) и
(Л', о;) (Л, А' ? Ък) совпадают лишь при А = А'. Следовательно, в
разложениях (9.7) не более г - 1 коэффициентов h\ отличны от нуля. Но
тогда ковекторные поля h(x), отвечающие г интегралам системы (9.2),
линейно зависимы. Значит, эти интегралы зависимы во всех точках
инвариантного тора. Получено противоречие. Для завершения доказательства
осталось заметить, что собственные значения матриц fi и fiT совпадают.
Теорема 2. Предположим, что система (9.2) допускает s + к полей
симметрий, линейно независимых хотя бы в одной точке инвариантного тора
Тк. Тогда матрица fi имеет (с учетом кратностей) по меньшей мере s
собственных значений вида г(А, ш), А е Ък.
Доказательство этого утверждения вполне аналогично доказательству теоремы
1. При к = 1 получаем теорему 2 из § 8.
3. Теорема 3. Предположим, что система (9.2) допускает г интегралов Нг
и I полей симметрий щ,... ,щ, независи-
мых в точках инвариантного тора Tfc, причем
(f")=0, 1 <*<г, 1 (9.9)
Тогда матрица fi имеет (с учетом кратностей) не менее г + I - к
собственных значений вида i(X,iv), А ? Ък.
При к = 1 это утверждение совпадает с теоремой 3 из § 8. Доказательство
основано на тех же идеях.
Применим теорему 3 к гамильтоновой системе с п степенями свободы,
обладающей нерезонансным А;-мерным инвариантным тором. Предположим, что
эта система допускает г независимых интегралов в инволюции. Утверждается,
что спектр соответствующей матрицы fi содержит не менее 2г - к чисел вида
г(А, ы), А ? Ък. При к = 1 получаем теорему 4 из § 8. Доказательство
основано на том факте, что гамильтоновы поля тц,,... , г>я, являются
полями симметрий, причем для них справедливы соотношения (9.9). Для
получения нужной оценки остается воспользоваться заключением теоремы 3.
4. Рассмотрим иллюстративный пример. Пусть 2(т + ^-мерное фазовое
пространство снабжено симплектической структурой dYAdX+dZ^MZ+,rAeX =
(ХЬ...,Х,П) mod 2тг, У = (Vi,..., Ут),
235
Глава IV.
Неинтегрируемость гамильтоновых систем
Z± = (Zi , • • •. Zf~). Рассмотрим функцию Гамильтона
// = {u,Y) + {YSY)/2 + {Z-,SlZ+) + G{X,Y>Z). (9.10)
Здесь ш нерезонансный набор чисел ссь..., ccm, Г и П -постоянные матрицы,
функция G 2тг-периодична по X, и ее разложение в ряд Маклорена по
переменным У, Z начинается с членов третьего порядка.
Выпишем уравнения Г амильтона:
X = *} + VY + 02{Y,Z), z+= nz+ + o2{Y,z),
У = Oa(Y,Z), Z_ = -fiTZ_ + 02(Y,Z).
Очевидно, они имеют m-мерный инвариантный тор Tm = {.AT, Y,Z: Y - Z - 0},
заполненный траекториями условно-периодических движений X = uit + Хо-
Согласно (9.3), уравнения в вариациях приобретают вид
Y - 0, Z+ = nZ+, = -fiTZ_. (9.11)
Спектр этой линейной системы с постоянными коэффициентами содержит m
нулей, I собственных чисел матрицы fi и I собственных чисел матрицы -fiT.
Предположим, что матрица fi не имеет чисто мнимых собственных чисел.
Тогда, согласно результатам п. 3, любые т+1 интегралов рассматриваемой
системы уравнений Г амильтона зависимы в точках m-мерного тора Y = Z = 0.
Предположим, например, что для всех ( ? С1
Re(?,fi(() ^ р|С|2> № = const > 0, (9.12)
где черта обозначает комплексное сопряжение. Пусть А - собственное
значение матрицы fi с собственным вектором ? € С1, fi? = = А?. Тогда
Re(?,fi?) = Re(?, А?) - ReA|?|2 > 0. Следовательно, все собственные числа
матрицы fi (-fiT) лежат в правой (левой) полуплоскости.
5. Рассмотрим более общий случай, когда в разложении гамильтониана
(9.10) матрицы Г и fi 27г-периодически зависят от Xi,..., Хт. Уравнениями
в вариациях снова являются линейные уравнения (9.11). Однако в общем
случае они не приводятся к системе с постоянными коэффициентами.
Лемма 3. Нусть матрица Q при всех значениях X удовлетворяет условию
(9.12). Тогда любые т+1 интегралов уравнений Гамильтона с гамильтонианом
(9.10) зависимы во всех точках т-мерного нерезонансного инвариантного
тора Y = 0, Z = 0.
236
§ 9. Невырожденные инвариантные торы.
Доказать л ь с- т в о. В окрестности этого тора любую функцию можно
представить в виде F = F)(^) + (у(Х), Y) + f (z+(X),Z^) + (л_(А'),2Т) +
0-2(Y, Z). Функции F(J, у, z± 2n-ne-риодичны по X. Если /•'--интеграл
уравнений Гамильтона, то
Л ,о. /4.-1-о.
ax' ) ' \ax' ,
ч \ <9ЛЗ fe.EUsb-
дх' ) \дх
Набор частот со - нерезонансный, поэтому Fq - const, у - const. Два
последних уравнения (9.13) можно представить в форме i+= = -~От,г+, z- =
QTZ-] здесь точка означает полную производную по времени в силу системы X
