Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
Оказываемся, при п > 2 и / ф const система с гамильтонианом (6.1) не
имеет полного набора независимых интегралов. Действительно, в этом случае
I - п - 1 и соответствующие прямые определяются векторами (1, -1, 0,...,
0)т, ..., (0,..., 0,1, - 1)т, которые не все попарно ортогональны. Если
"замкнуть" цепочку, добавив в гамильтониан
(6.1) слагаемое ef(xn - жД, то сформулированное выше утверждение станет
неприменимо: / = п прямых расположены в гиперплоскости, ортогональной
вектору (1,..., 1)т. Задача о полной интегрируемости замкнутой цепочки
рассматривается в § 7.
5. По-видимому, теорема 1 справедлива и в случае псевдоевкли-довой
метрики ( , ). По крайней мере справедливо следствие 2 из теоремы 1, в
чем можно убедиться с помощью аргументов, изложенных в п. 5 § 5. При п =
2 мы имеем только один вид псевдоевк-лидова пространства. Под ромбом
здесь понимается, как обычно, параллелограмм с ортогональными
диагоналями. При неограниченном сближении соседних вершин ромб
вырождается в отрезок, расположенный на одной из изотропных прямых.
6. В случае двух степеней свободы результаты § 5 можно усилить.
Справедлива
Теорема 2. Гамильтонова система с гамильтонианом Но + еН\ (форма Но
положительно определена) допускает нетри-
215
Глава IV. Неинтегрируемость гамильтоновых систем
виальное поле симметрий ut = u°(x,y)+eu1(x,y)+... с аналитическими и 2тт-
периодическими по Х\, ж2 коэффициентами ur (г ^ 0) в том и только том
случае, когда точки множества Д лежат на одной или двух ортогональных
прямых, проходящих через начало координат.
В частности, при условиях теоремы 2, и только в этом случае, уравнения Г
амильтона допускают дополнительный интеграл в виде ряда по е с
многозначными коэффициентами. Аналогичное утверждение справедливо и для
интегралов обратимой системы с гамильтонианом Н0 + Н\, являющихся
полиномами по импульсам у\, у2 с многозначными на пространстве положений
Т2 = = {х mod 27г} коэффициентами.
Теорема 2 доказывается методом § 3 с использованием результатов § 5 о
строении множества Пуанкаре Р°°.
§ 7. Приложение к системам взаимодействующих частиц
1. Динамика п одинаковых взаимодействующих частиц на прямой
описывается гамильтоновой системой с гамильтонианом
^ (7.1)
!<?
где /(•) - четная функция (потенциал парного взаимодействия). Мозер [222]
и Калоджеро [185] показали, что система с гамильтонианом (7.1) вполне
интегрируема, если / является p-функцией Вей-ерштрасса (или ее
вырожденными случаями z~2, sin-2 z, sh~~2 z). В работе [145] показано,
что в случае трех частиц это единственный случай, когда имеется
полиномиальный интеграл третьей степени, независимый от интегралов Н и Р
- У" •
Будем рассматривать потенциалы /, которые являются аналитическими
периодическими функциями с периодом 27г. Примером может служить система
трех точек на окружности, соединенных упругими пружинами.
Теорема 1 [100]. Если f ф const и п > 2, то уравнения Гамильтона с
гамильтонианом (7.1) не имеют полного набора (в количестве п) независимых
полиномиальных по импульсам первых интегралов.
Замечание. При п = 3 нет дополнительного интеграла в виде полинома по
импульсам, независимого от функций Н и Р.
Стоит подчеркнуть, что p-функция Вейерштрасса имеет полюсы на
вещественной оси.
216
§ 7. Приложение к системам взаимодействующих частиц
2. Укажем схему доказательства теоремы 1 при п = 3. Перейдем в
инерциальную барицентрическую систему отсчета; в этой системе суммарный
импульс равен нулю. Такой переход можно осуществить с помощью
канонического преобразовайия
У\ = У\~У2 , у2= 2/2-2/3, Y3= 2/1 + 2/2 + 2/з ,
Xl = Х1 + х3 , Х2 = ~Х1 +^2 + ^3 , *3 = ~х2 + х3 ¦
Полагая Уз = 0, осуществим редукцию к системе с двумя степенями свободы,
гамильтониан которой равен
У2 - YY2 + Y22 + /(*,) + f(X2) + f(Xt + Х2). (7.2)
Рассмотрим сначала случай, когда / - тригонометрический многочлен. Тогда
выпуклая оболочка Д будет шестиугольником (рис. 14). В этом случае
отсутствие нового интеграла вытекает из следствия 2 теоремы 1 § 5.
Рис. 14
Рис. 15
Предположим теперь, что / не многочлен. Воспользуемся теоремой 12 из § 4.
Пусть k = (т,п) G Z2, причем тп, п ф 0, т ф п. Условие обращения в нуль
функции h'k на прямой (к, Y) = 0 можно представить в виде
frnfn т п
fn fn
fm fn
п m - п
m m
n
(7.3)
(f" -s-й коэффициент Фурье функции /; черта означает комплексное
сопряжение). Для четной функции /, очевидно, fs = /".
Предположим, что f\ Ф 0 при некотором X ф 0. Если множество Пуанкаре Р2
состоит лишь из конечного числа различных
217
Глава IV. Неинтегрируемость гамильтоновых систем
прямых, то равенство (7.3) заведомо справедливо при п = А и всех
достаточно больших ш. Положим fm/m = ат. Тогда
атаA ti Л\
ат+л = ----- - (7.4)
Т а\
Так как / не полином, то при некотором сколь угодно большом т коэффициент
ат отличен от нуля. Из (7.4) получим по индукции
Om+.,а = • Поскольку ат ф о, ТО lira/т+*А = lim(m +
sam + ад s-оа в-оо
+ s\)am+s\ = /д ф 0. Следовательно, функция / не аналитическая (в
