Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
теоремы. Ясно, что всегда К С Pi, однако Можно привести примеры, когда
множества К и Pi не совпадают. В общем случае, конечно, К всюду плотно в
Rn = {y}.
Для доказательства рассмотрим невырожденные периодические решения 7(e),
рождающиеся из семейства периодических решений, расположенных на
резонансном торе у° ? К (см. теорему 5). Ввиду их невырожденности при е ф
0, функции Н и F зависимы во всех точках траектории j(e) (см. теорему 4).
Устремим е к нулю. Периодическое решение 7(e) перейдет в одно из
периодических решений 7(0) невозмущенной задачи, лежащее на торе у = у0,
а функции Я и F станут равными Но и F0. По непрерывности они будут
зависимы во всех точках траектории 7(0). Следовательно,
d(Ho,F0)
ранг матрицы Якоби
равен единице в точках (х, у) ?
д(Н0 Fo)
д(Уи-. ¦ 1 Уп)
д(х,у)
? 7(0). В частности, в этих точках ранг матрицы
тоже равен единице. Для завершения доказательства остается заметить, что
функции Н0 и F0 не зависят от х.
Эта же идея применима к более общей задаче о наличии поля иЕ,
коммутирующего с исходным гамильтоновым полем vE: согласно
227
Глава IV. Неинтегрируемость галсильтоновых систем
теореме 2, поля ие и vF линейно зависимы в точках невырожденного
периодического решения 7(f)- Устремляя е к нулю, получаем, что щ и То
зависимы в точках траектории 7(0). Ввиду невырожденности невозмушенной
системы, поле и0 не зависит от .г. Следовательно, поля щ и то зависимы во
всех точках у ? К.
Таким образом, рождение большого числа изоэнергетически невырожденных
периодических решений возмущенных гамильтоновых систем несовмес тимо с их
интегрируемостью. К сожалению, таким способом удается доказать отсутствие
интегралов (или полей симметрий), аналитически зависящих от г. Дело в
том, что при малых, но конечных значениях 6^0 теорема 5 гарантирует
наличие лишь конечного числа изоэнергетически невырожденных периодических
решений. Этого, конечно, недостаточно для доказательства
неинтегрируемости возмущенной системы при малых фиксированных значениях s
ф 0.
7. Укажем, следуя Пуанкаре [146, п. 75], асимптотические формулы для
характеристических показателей т-периодических решений, существование
которых гарантирует теорема 5. Напомним (см. п. 1), что
характеристические показатели а связаны с мультипликаторами р
соотношением р = ехр(ат). Положим
а - рфе. (8.18)
Оказывается, р аналитическая функция от уД: р = р$ +
+ р\у/ё + ... Свободный коэффициент р,0 - корень уравнения
-До г 0
В
О 1 н
-Но т 0
-А
0 -/70 Г
где элементы квадратных (н х п)-матриц А и В равны
соответ-
д2Но , (n 02R , ,Л
ственно т----(уи) и т----~(.т ); здесь функция И. определяется
oyjdyj OXiOXj
равенством (8.17), х° = (А)1,..., А(( j, 0).
Уравнение (8.19) можно представить в более простом виде:
|АВ + рЪт1Щ = \ ВА Д р;У Г =. 0. (8.20)
По определению функции R, век гор ¦J) ¦- (ид (уи), ... ,
и)н(у0)) Г
является собственным вектором матрицы В с нулевым собственным значением.
Следова-гельно, dot В - 0, и поэтому /yfl = 0 -
228
§ 8. Рождение изолированных периодических решений
двукратный корень многочлена (8.20). Этот корень отвечает единичному
мультипликатору возмущенного периодического решения. Остальные корни
разбиваются на пары с противоположными знаками. Этот факт отвечает
теореме Пуанкаре - Ляпунова о возвратности характеристического многочлена
для мультипликаторов периодического решения гамильтоновой системы.
Матрицы А и В симметричны; однако в общем случае (АВ)Т = = ВА ф АВ.
Поэтому собственные числа матрицы АВ (или В А) в типичной ситуации не
являются вещественными. В частности, среди мультипликаторов имеются
четверки различных чисел р, р.
Рассмотрим частный случай, когда матрица А пропорциональна единичной: А =
хЕ, xeR. Пусть для определенности х > 0. Тогда квадраты корней
характеристического многочлена (8.20) - числа Pq - вещественны. Они
пропорциональны ненулевым собственным числам матрицы В. Легко сообразить,
что эти числа совпадают с собственными числами матрицы
В типичной ситуации все критические точки функции h : Т71'"1 -+ К
невырождены. Напомним, что индексом к функции h в критической точке А0
называется число отрицательных собственных значений матрицы (8.21).
Согласно (8.20), 2к мультипликаторов возмущенного периодического решения
будут вещественными положительными числами, причем половина из них больше
единицы, а другая - меньше единицы. Остальные мультипликаторы с точностью
до О(е) лежат на единичной окружности, так что индекс к можно назвать
степенью неустойчивости периодического решения.
Пусть Cfc - количество критических точек функции h индекса к. Из теории
Морса известны следующие соотношения (см., например, [54, гл. II]):
Неравенства (8.22) дают оценки числа возмущенных периодических траекторий
заданной степени неустойчивости. В частности, максимуму функции h
отвечает периодическое решение с вещественными мультипликаторами.
При п - 2 имеются два типа возмущенных изоэнергетически невырожденных
