Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
что в новых переменных гамильтониан (10.1) приобретает вид
(о,*,?) + хГ?(У,ГШУ)/2 + MZ-MX, V~e)Z+) +
+ y/iF(X, Y, Z, /7) + eG(X, У, Z, Vi),
где Г = Го + О (у/е), П = fi0 + 0(у/ё), причем detT0 / 0, и для всех ? ?
Сг выполнены неравенства Не Д. Но С) ^ м!С|2 (V = const > > 0), функции F
и G аналитичны, их разложение в ряд Маклорена по Z (соответственно по
Y,Z) начинается с членов степени ^ 3. Инвариантные торы Т(tm) имеют вид {X,
Y, Z : Y = 0, Z = 0}.
Доказательство теоремы 1 основано на идеях КАМ-теории. Согласно § 9, при
малых г > 0 инвариантные торы Т(tm) являются гиперболическими. При m - 1 они
превращаются в периодические решения, и теорема 1 становится частным
случаем теоремы Пуанкаре из п. 5 § 8. Действительно, условие 3) теоремы 1
при этом заведомо выполнено, а условие 1) совпадает с условием
невырожденности невозмущенной системы. Далее, невырожденность матрицы
VKTIII< эквивалентна двум условиям: det V / 0 и det(A'Tn/<') ф V 0.
Первое из них сводится к условию невырожденности критической точки
функции h, а второе эквивалентно второму из неравенств (8.15).
Следовательно, применима теорема Пуанкаре.
Подчеркнем, что все инвариантные торы, существующие в силу теоремы 1,
неустойчивы, тогда как по теореме Пуанкаре при m = 1 возмущенная система
имеет устойчивые в линейном приближении замкнутые траектории (п. 7 § 8).
Кроме того, теорема Пуанкаре утверждает, что семейство инвариантных торов
Т* аналитично по е, тогда как из теоремы 1 вытекает лишь аналитичность по
у/е.
Условие 2) теоремы 1 существенно для наличия невырожденных инвариантных
торов возмущенной системы. Дело в том, что при малом возмущении функции
Гамильтона изоэнергетически невырожденные периодические решения не
исчезают, а переходят в периодические решения того же периода. Для
инвариантных торов размерности ш ^ 2 это уже не так. В работах В. К.
Мельникова [128], Ю. Мозера [129], С. Граффа [198] показано, что
гиперболические приводимые торы с сильно несоизмеримым набором частот
(условие (10.4)) сохраняются при возмущении уравнений Гамильтона. Однако
аналогичный результат для негиперболических инвариантных торов (например,
устойчивых) в общем случае не удается получить даже на формальном уровне
(исключение составляют случаи, когда m = 1 и m = п - 1), Обсуждение этих
вопросов можно найти в работе К) Мозера [129].
2. С точки зрения задачи точного интегрирования канонических уравнений
Гамильтона с гамильтонианом (10.1) наибольший
240
§ 10. Рождение гиперболических инвариантных торов
интерес представляет случай т = п - 1. Здесь имеется всего одно
нетривиальное соотношение k^oji = 0 (/г,- Е Z).
Единственная угловая переменная Л (см. п. 1) определяется равенством А =
)Г к{Х{. Ясно, что /г(Л) = )Г Н^к ехр(гцА), д 6 Z.
Резонансный инвариантный тор невозмущенной задачи у = у0, х mod 27Г
расслаивается на однопараметрическое семейство (п - - 1)-мерных
нерезонансных торов
Т"~1(А,у0) = {х,у : у - у0, 'Y^kixi = А}. (10.5)
Будем предполагать, что частоты условно-периодических движений на торах
(10.5) удовлетворяют условию (Ю.4).
В рассматриваемом случае матрица КТПК сводится к одному вещественному
числу
(10-6)
Предположим, что сумма (10.6) отлична от нуля и все критические точки
функции h невырождены. В частности, число критических точек четно, причем
половина из них - локальные минимумы (где h" > 0), а половина - локальные
максимумы (h" < 0). Тогда, согласно теореме 1, половина критических точек
функции h отвечает (п- 1)-мерным инвариантным торам невозмущенной задачи,
которые при малых значениях параметра е > 0 переходят в гиперболические
торы Т"-1 возмущенных уравнений Гамильтона. Вопрос о судьбе остальных
торов остается пока открытым.
Предположим, что уравнения с гамильтонианом (10.1) имеют полный набор
интегралов в виде рядов по е:
Fj° + eFl + • ¦ •,
................................. (Ю.7)
К + eFl + ...
Коэффициенты этих рядов - аналитические функции от х,у, 27г-периодически
зависящие от х. Ввиду невырожденности невозмущенной задачи, функции
Ff,..., FJJ не содержат переменных х mod 27г. Покажем, что они зависимы в
точке у = у0. Воспользуемся рассуждением п. 6 § 8. Согласно лемме 3 § 9,
на торе Т""1 интегралы (10.7) зависимы. Устремим ? к нулю. По
непрерывности функции Fj0,..., F° зависимы в точках тора Tq_1; они не
содержат
0 d(F°,...,F?)
переменных т, поэтому при у - у якобиан
нулю, что и требовалось доказать.
д{уи...,уп)
равен
241
Глава IV. Неинтегрируемость гамильтоновых систем
Итак, рождение гиперболических инвариантных (п- 1)-мерных торов
возмущенных уравнений Гамильтона является препятствием к их полной
интегрируемости. Аналогичные рассуждения показывают, что рождение
большого числа m-мерных гиперболических торов несовместимо с наличием т +
1 независимых интегралов, аналитических по е.
3. Можно показать, что теорема 1 справедлива для гамильтонианов
несколько более общего вида:
Но(у) + ?Н\{у) + ... -)- е* + ?(r)На(х, у) + о(е*). (10.8)
