Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
Роль возмущающей функции играет Я,, причем для вычисления матрицы V надо
усреднить Hs по траекториям гамильтоновой системы с гамильтонианом Но-
Системы с гамильтонианом (10.8) естественным путем появляются после
конечного числа шагов классической теории возмущений, примененной к
системе с исходным гамильтонианом (10.1). Обобщенная теорема 1 позволяет
установить существование новых гиперболических торов возмущенной задачи.
Продемонстрируем эту идею на примере задачи, рассмотренной нами в § 5.
Речь идет о гамильтоновой системе с функцией Гамильтона
Н = Н0(у) + eHi(x), (10.9)
где Но = ]Г у,;'?/,/2 - положительно определенная квадратичная форма с
постоянными коэффициентами, Н\-тригонометрический многочлен по угловым
переменным xi,... ,хп. При этом сумма (10.6) заведомо отлична от нуля.
Ряд Фурье Hi имеет конечное число гармоник, поэтому теорема 1 гарантирует
лишь наличие конечного числа семейств гиперболических торов возмущенной
задачи, что недостаточно для доказательства ее неинтегрируемости.
Угловыми скобками ( , ) будем обозначать скалярное произведение,
задаваемое внутренней метрикой Но- Пусть Д - "спектр" многочлена Hi (см.
§ 5). Оставляя в стороне тривиальный интегрируемый случай, когда все
точки из Д С S" лежат на одной прямой, будем предполагать, что Д содержит
по крайней мере два линейно независимых элемента. Поэтому можно
определить вершину а множества Д и присоединенную вершину /3 (см. § 5).
Векторы а и (3 линейно независимы.
Теорема 2 [161]. Предположим, что
1) 2(а,/3)/(а,а) ? -Z+, где Z+ = {0,1,2,...};
2) при каждом целом j is 0 компоненты вектора ja + /3 взаимно просты.
Тогда на каждой плоскости TTj = {у S !п : (y,ja + (3) = 0} имеется такое
подмножество W,{e0), что для всех у ? И^(е0) при
242
§ J0. Рождение гиперболических инвариантных торов
О < ? < ?о гамильтонова система с гамильтонианом (10.9) обладает
гиперболическими инвариантными торами непрерыв-
но зависящими от е. При этом для каждого j 0 найдется такое e0{j) > 0,
что мера Wj(e0(j)) положительна, а мера множества 7Гу \ (J И^-(е) равна
нулю.
?>0
Этот результат является многомерным аналогом теоремы 6 из § 8 и
доказывается по той же схеме. Положим, например, j = = 0. Компоненты
вектора 0 взаимно просты, поэтому множество Д содержит лишь одну пару
ненулевых векторов, параллельных 0: это (3 и -(3. Но тогда функция h(X)
равна с cos Л + ci, где с, щ - = const, с ф 0. Она имеет ровно две
невырожденные критические точки.
Сопоставим подгруппе 0Ъ С Ъп целочисленную унимодулярную матрицу Kq (см.
п. 1). Вектор частот для инвариантных (п - 1)-мерных торов невозмущенной
задачи имеет вид
ш* = Kq Ау, А = (| а0-1|, (10.10)
причем у G 7Г0 = {у G Еп : (в, у) = 0}. Матрица /\ J А невырождена,
поэтому множество тех у ? 7г0, для которых частоты (10.10) не
удовлетворяют условию (10.4) ни при каких c,N > 0, имеет нулевую меру.
Пусть W(eo) - множество точек из 7Г0, для которых при всех 0 < е < ?о
имеется гиперболический инвариантный тор согласно теореме 1. Мера
множества 7Г0 \ (J W(e) равна нулю, поэтому для
?>0
некоторого е0 > 0 мера W(eo) положительна.
Итак, теорема 2 доказана для j = 0. Для доказательства теоремы при j ^ 1
надо сначала выполнить j шагов теории возмущений и привести гамильтониан
(10.9) к виду (10.8), а затем применить обобщенную теорему 1. Все
необходимые детали можно найти в работе [161].
4. Теорема 2 применима ко многим известным задачам гамильтоновой
механики. В качестве примера рассмотрим систему Гросс - Невё, описывающую
динамику взаимодействующих час-
71
тиц (см. § 6 гл. I). Функция Гамильтона имеет вид Н = | ^ у? +
г = 1
+ е cos(xk - хj). Множество Д состоит из векторов щ - е7, где
k<j
е\ = (1, 0,..., 0), ..., еп = (0,..., 0,1). При п ^ 3 вершинами а и
0 будут векторы (1,0......0,-1) и (1,0,..., -1,0). Ясно, что ja +
+ 0 - 0 + ГО,..., - 1, - j)- При всех j >. 0 координаты этих векторов
взаимно просты. Следовательно, согласно теореме 2, почти все точки
гиперплоскостей (ja + 0,y) - 0 отвечают резонансным
243
Глава IV. Неинтегрируемость гамильтоновых систем
n-мерным торам, при разрушении которых рождаются гиперболические (п- 1)-
мерные торы возмущенной системы. Наличие такого большого количества
гиперболических торов препятствует полной интегрируемости системы Гросс -
Невё.
§ 11. Неавтономные системы
1. Рассмотрим неавтономную систему канонических уравнений Гамильтона
±i = дН/ду{, & = -дН/дх{, 1 ^ г ^ п, (11.1)
с гамильтонианом Н(х,у,р), 27г-периодическим по tр = ujt, lo = = const.
Вводя две новые сопряженные канонические переменные ip mod 27г, ф и
функцию Г амильтона И = иаф + #(т, у, р), систему
(11.1) можно записать в виде автономной гамильтоновой системы с п+1
степенью свободы:
дн ; дн . дЧ дн . дн дн
ф~~дф~ш' х~ду^ду' у~ дх~ дх' ^
Более точно, проекции интегральных кривых системы (11.Г) на фазовое
пространство системы (11.1), параметризованные переменной ?, являются
решениями уравнений (11.1). При этом, конечно, мы полагаем постоянную р0
