Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
/ на прямую I будет аналитической функцией, множество нулей которой имеет
хотя бы одну конечную предельную точку. Следовательно, /|; = 0, и, в
частности, f(a) = 0. Для завершения доказательства теоремы остается
воспользоваться аналитичностью якобиана функций F0(1\... . ,F0(n).
В условиях теоремы 11 можно утверждать отсутствие полного набора
независимых интегралов вида Т, Fk(x, у)ек, коэффициенты которых F*
аналитичны в прямом произведении D х Тл, где D - любая открытая область в
Еп = {у}, имеющая непустое пересечение с Р^Р1 (чер- Рис. 13
та обозначает замыкание множества).
Теорема 1). Пусть выполнены условия теоремы ф. Если гамильтонова система
(4.1) имеет п - 1 аналитический интеграл
F" = F0(1) + ?F(1) + ...,
........................................ (4-7)
F("-1) = F0('l"1) + ?F1(n~1) + ...,
причем функции ..., Fr|n ^ независимы хотя бы в одной точке из (Р1 \Р!) х
Тп, то уравнения Гамильтона не имеют независимого от интеграла в
виде формального ряда ]Г Fa?s с
аналитическими и однозначными б!"х Тп коэффициентами.
Это утверждение - следствие теоремы 3 из § 1 и ключевого свойства
множества Пуанкаре Р1.
Среди интегралов (4.7) может быть функция Гамильтона Н0 + + sHi. Заметим,
что единственной критической точкой функции Н0 является точка у = 0.
Отсюда вытекает, в частности, что при п = 2 заключение теоремы ф можно
усилить, заменив условие независимости функций Но и Fo более слабым
условием независимости рядов Но + еН 1 и F, С.
3. Предположим, что условие теоремы ф не выполнено. Тогда имеется
решение Si первого уравнения системы (4.4), аналитическое в (En \ Р1) х
Т'". В частности, функции (4.6) определены и аналитичны в области En \
Р1. В этой ситуации можно опреде-
198
§ 5. Критерий интегрируемости (для тригон. многочлена)
лить множество Пуанкаре второго порядка Р2 как совокупность
гиперплоскостей (к, и) =0, к ф 0, на которых соответствующие функции h'k
ф 0.
Теорема 1г- Если множество Р2 состоит из бесконечного числа различных
гиперплоскостей, то система (4.1) не имеет п формальных интегралов Y)
Евев с аналитическими коэффициентами Fg : В" х Тп -" К, независимых при s
= 0.
Теорема 1г доказывается по той же схеме, что и теорема Т. Справедлива
также теорема 1'2, которая получается из теоремы 1 j заменой Р1 на Р2.
Отметим интересный частный случай, когда h'k = 0 при всех к ф 0. Тогда S-
i = 0. Индукцией из формул (4.4) получаем 53 = S4 = ... = 0; в этом
случае уравнения (4.1) вполне интегрируемы. Если точки множества {m G Zn
: hm ф 0} лежат на ортогональных (в евклидовой метрике ( , )) прямых,
проходящих через начало координат, то, очевидно, hk - 0 при к ф 0. Как
будет показано ниже, в этом случае канонические переменные разделяются.
Множества Пуанкаре больших порядков определяются рекурсивно: если
существуют решения Si,S2,..., Sp_\ первых р- 1 уравнений системы (4.4),
аналитические в (Rn\(P1U.. .UPP"1)) х Тп, то корректно определено
множество Пуанкаре Рр порядка р и справедливы теоремы 1р и 1р. В случае,
когда возмущающая функция Н1 является тригонометрическим многочленом,
каждое из множеств Рр состоит лишь из конечного числа различных
гиперплоскостей (т. е. Рр = Рр), и поэтому теоремы 1р (р = 1,2,...) не
дают заключения об интегрируемости гамильтоновой системы (4.1). Подобная
ситуация часто встречается в анализе. Например, имеются ряды, сходимость
или расходимость которых нельзя установить бесконечной серией
логарифмических признаков.
Если определены множества Пуанкаре всех порядков, то можно
(X)
положить Р°° = (J Рр. Оказывается, справедливы теоремы 11Х) и
р= 1
lf^. Эти теоремы, правда, неконструктивны: для проверки выполнения их
условий необходимо проделать бесконечное число шагов теории возмущений.
Оказывается, для случая тригонометрических многочленов условия теорем
11Х) и 1'^ можно сделать эффективными.
§ 5. Критерий интегрируемости для случая, когда потенциал является
тригонометрическим многочленом
1. Пусть функция Hi : Тп -> Е - тригонометрический многочлен. Тогда,
очевидно, множество А = {т G : hm ф 0} конечно.
199
Глава IV. Неинтегрируемость гамильтоновых систем
Как и в общем случае, оно инвариантно относительно отображения m -> -т.
Будем считать, что Н\ ф const; тогда Д содержит по меньшей мере два
элемента.
Теорема 1 [97]. Предположим, что квадратичная форма Н0 положительно
определена. Тогда гамильтонова система с функцией Г амильтона Но + еН\
имеет полный набор формально аналитических по е первых интегралов,
независимых при ? - 0, в том и только том случае, когда точки множества А
расположены на (1 н прямых, ортогонально (в метрике { , )) пересекающихся
в начале координат.
Доказательство достаточности условий теоремы 1 совсем простое.
Действительно, пусть h,..., Id -прямые в Rn, о которых идет речь в
теореме 1. Через /г, обозначим точку из множества (Znfl П /,) \ {0},
ближайшую к точке 0. Дополним ki,..., kd целочисленными векторами
kd+1,... ,kn до базиса в Rn. Выполним теперь линейное преобразование х' =
