Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Козлов В.В. -> "Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике" -> 98

Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.

Козлов В.В. Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике — Ижевск, 1995. — 432 c.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка): simmetriitopologiiirezonansa1995.djvu
Предыдущая << 1 .. 92 93 94 95 96 97 < 98 > 99 100 101 102 103 104 .. 172 >> Следующая

= р - cat равной нулю.
Так как дН/дф = ф 0, то к автономной гамильтоновой системе (11.Г) можно
применить процедуру понижения порядка по Уиттекеру (п. 4 § 1), понизив на
единицу число степеней свободы. При этом, разумеется, получим исходную
систему (11.1).
Предположим, что уравнения (11.1) допускают условно-периодическое решение
х = у = g(u>t, ..., од,?).
Здесь fug - гладкие функции на (к + 1)-мерном торе Tfc+1 = = {A,Ai,...,A*
mod 2л}; ..., ид,-несоизмеримые постоян-
ные частоты. Покажем, что тогда автономная система (11.1') имеет
инвариантный (А;+1)-мерный тор с теми же частотами условнопериодических
движений. Действительно, для этого надо положить
X = /(A, Ai,..., Ai). у = g{X.Xi А*),
Р = Х, ф = -Н(/,д.Х)/ы,
X = u;, Ai = ид, ..., А^ = и;*..
При к = 0 имеем периодическое решение. Его мультипликаторами естественно
назвать мультипликаторы соответствующей замкнутой траектории автономной
системы (11.Г).
244
§ 11. Неавтономные системы
Пусть функция F(x, у, ip), 27г-периодическая по <р = и;t, является
интегралом системы (11.1). Тогда, очевидно, она является также интегралом
системы (11.1').
Предположим, что гамильтонова система (11.1) допускает такие т
инволютивных интегралов T\,...,Frn, что ранг матрицы
Якоби
d(Fu.. -,Fm)
д(х у)
равен ш хотя бы в одной точке, лежащей на
траектории периодического решения t -> z(t). Тогда не менее 2т + + 1
мультипликаторов этого периодического решения равны единице. Для
доказательства достаточно сослаться на теорему 4 из § 8 и
а й d{H,Fu...,Fm) воспользоваться тем, что ранг матрицы Якоби -----------
----------------
не меньше т + 1. офр,ф,х,у)
Аналогичные результаты справедливы и для инвариантных торов при к ф 1.
2. Предположим, что неавтономная гамильтонова система зависит от
малого параметра е и при е = 0 является вполне интегрируемой. В
переменных действие - угол невозмущенной задачи х mod 27г, у функция Г
амильтона имеет вид
Н = Н0(у) + еН\(х, г/, <р) + о(е). (11.2)
Как и в п. 1, предполагается, что функция Н 27г-периодична по <р.
Расширяя фазовое пространство, перейдем к автономной системе с
гамильтонианом
Н - Но + еН\ + о(е), Но = шф + Н0(у), Н\ = Н\. (11.3)
В теории возмущений гамильтоновых систем существенную роль играет
предположение о невырожденности невозмущенной задачи. К сожалению,
гессиан функции Но по импульсам ф,у тождественно равен нулю.
Эту трудность можно преодолеть, переходя к системе с гамильтонианом ехр7ф
Новая система будет иметь те же траектории, однако скорость движения по
ним будет отличаться постоянным множителем. Последнее обстоятельство не
влияет, например, на свойство замкнутости траектории. Ясно, что
expW = exp Wo + FH\ exp Wo + o(e). (11-4)
Вычислим вторые производные нового невозмущенного гамильтониана по
импульсам ф,у:
д2ехрН0 Па, , v д2 ехр Но По
-z-x = е 4(ai3 + сUiujj),...................¦ = еПош{ы,
ду{ду3 ду{дф
д2ехрН0 п 2 дф2 '
245
Глава IV. Неинтегрируемость гамильтоновых систем
д2Н<
о
cjj - Гессиан функции expWo по у,ф равен
ОУг
(exp?io)n+M2 det \\д2Н0/ду(ду^\\. Следовательно, если функция Н0
невырождена по импульсам у, то невозмущенная система (11.4) также будет
невырожденной. Это наблюдение позволяет применить к системе с
гамильтонианом (11.4) полученные выше результаты, касающиеся возмущений
автономных гамильтоновых систем. Отметим, что замену гамильтониана его
экспонентой впервые применил Пуанкаре в круговой ограниченной задаче трех
тел (см. п. 1 § 2).
3. Предположим, что частоты о/, од = дНо/ду\, ..., соп = = дНо/дуп при у
= у0 связаны единственным нетривиальным резонансным соотношением косо +
к\Ш\ + ... + кпсоп = 0. Поскольку со Г 0, то I'M Ф 0. Естественно
считать, что наибольший общий
делитель целых чисел ко,... ,кп равен единице.
Пусть К = (к0, Ад,..., кп)Т, Н\(х, у°,р) = J/HT exp^Mo^+n^i + + ... +
т"тп)], т Е Zn+1. Введем 2я-периодическую функцию одной переменной /г(Л)
= Hh)1 ехр(грА), р ? Ъ. Эта функция - результат усреднения возмущающей
функции Н\ : Tn+1 -> R вдоль траекторий невозмущенной задачи (см. п. 1 §
10).
Теорема 1. Предположим, что функция (11-2) аналитична по х, у, <р, е, и
при у = у0 выполнены следующие условия:
3) при некоторых c,N - const > 0 неравенство \сооНо + адщ+ + ... -f
со"и"| > c\u\^N имеет место для всех целых но,..., н", не равных
одновременно нулю.
Пусть А = Л°-невырожденная критическая точка функции h, причем /г"(А0)<5
< 0. Тогда при малых значениях е > 0 возмущенная система с гамильтонианом
(11.2) имеет (п - 1)-параметрическое семейство условно-периодических
решений
где /ид - аналитические функции, 2 7Г- периоди ческие по Ф = = (ФЬ...,ФП)
и <р, причем Фг = ujjt + Х°, р = cot, АдА° + ...+ + knX°n = A0 mod 27г.
Для доказательства этой теоремы перейдем к автономной гамильтоновой
системе с n + 1 степенью свободы, задаваемой гамильтонианом (11.3), а
затем заменим гамильтониан Н на ехр?Г
1) det \\д2Н0/ду,-ду\\ ф 0;
х =Ф + у/ё/(Ф,р, s/e), у = у0 + фед(Ф,р, фе), (11.5)
Предыдущая << 1 .. 92 93 94 95 96 97 < 98 > 99 100 101 102 103 104 .. 172 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed