Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
точку. Предположим сначала, что 7 не имеет самопересечений. Тогда 7 делит
Т2 на две геодезически выпуклые области, одна из которых гомеоморфна
диску, а эйлерова характеристика другой области отрицательна. Отсутствие
интеграла вытекает из теоремы 1. Рассмотрим теперь общий случай, когда
геодезическая 7 имеет самопересечения. Реализуем тор как
факторпрострапство R2 по целочисленной решетке Z2. Метрика на Т2
индуцирует метрику на К2, причем геодезическая 7 "поднимается" до
геодезической 7' на К2. Поскольку 7 гомотопна нулю
142
§ 3. Геометрические препятствия к интегрируемости
на Т2, то ~f' замкнута. Ясно, что у' целиком лежит в некотором квадрате с
целочисленными вершинами. Пусть р - длина стороны этого квадрата.
Рассмотрим новый тор Т2, возникающий в результате факторизации К2 по
решетке рЪ2. Ясно, что уравнения геодезических на Т2 имеют дополнительный
аналитический интеграл, если тем же свойством обладают уравнения
геодезических на исходном многообразии Т2. Геодезическая 7' перейдет в
геодезическую у" на Т2, причем среди областей, на которые 7, делит Т2,
имеется область, гомеоморфная двумерному гору с вырезанным диском. Она,
очевидно, геодезически выпукла, и ее эйлерова характеристика
отрицательна. Утверждение доказано полностью.
Конечно, далеко не каждая метрика на двумерном торе имеет гомотопные нулю
замкнутые геодезические. Однако в ряде случаев существование таких
геодезических можно установить из простых соображений вариационного
характера (рис. 11).
Обратимся к случаю, когда М гомеоморфна сфере S2. Согласно знаменитой
теореме Пуанкаре, на S2 всегда имеются три замкнутые несамопересекающиеся
геодезические 7, (см., например, [72а]). Оказывается, интегрируемость
соответствующего геодезического потока зависит от их взаимного
расположения.
Следствие 2. Предположим, что геодезические 71,72,73 не пересекаются и
каждую из них можно продеформировать в точку, не пересекая при этом двух
других геодезических. Тогда уравнения геодезических на S2 не имеют
дополнительного аналитического интеграла.
Действительно, в этом случае 7, делят S2 на несколько геодезически
выпуклых областей, одна из которых имеет отрицательную эйлерову
характеристику (рис. 12).
4. Применим, следуя С. В. Болотину, эти общие результаты к системам с
потенциалом ньютоновского типа. Пусть М - про-
Рис. 11
Рис. 12
143
Глава III. Препятствия к полной интегрируемости
странство положений натуральной системы с двумя степенями свободы, V : М
-+ R - потенциальная энергия. Поверхность М не предполагается
ориентируемой. Будем говорить, что функция V - потенциал ньютоновского
типа, если она аналитична всюду, кроме конечного числа точек z\,..., z",
и в конформных координатах 2 (для метрики, задаваемой кинетической
энергией) с началом в особой точке zs имеет вид V - - f{z)/\z\, где / -
функция, аналитическая в окрестности точки zs, /(0) > 0.
Теорема 2 [26]. Пусть М компактно, а потенциал V имеет n > 2x(iV/) особых
точек. Тогда при h > supM V не существует непостоянных аналитических
интегралов на энергетической поверхности Пи = {П = h}.
При п = 0 получаем теорему 1 из § 1. Условие п > 2у(М) не выполнено лишь
в следующих случаях:
а) М - сфера, п ^ 4;
б) М - проективная плоскость, п 2;
в) М - тор или бутылка Клейна, п = 0.
В некомпактном случае нужны дополнительные условия на поведение
кинетической энергии на бесконечности. Предположим, что х(М) ф - оо;
тогда, как известно из топологии, М можно превратить в компактную
поверхность М*, добавляя конечное число бесконечно удаленных точек z*k.
Пусть D*. С М*-диффеоморф-ные дискам окрестности точек z*k.
Дополнительное предположение заключается в том, что каждая замкнутая
кривая в D*., охватывающая точку z*k, не может быть стянута к точке z*k в
классе кривых ограниченной длины (в метрике, определяемой кинетической
энергией). Предположим еще, что supM V < оо.
Теорема 3 [26]. Пусть М некомпактно, кинетическая энергия удовлетворяет
сформулированному выше условию на бесконечности, а потенциальная энергия
имеет п > 2у(М) особых точек. Тогда при h > нирл/ V система не имеет
аналитических интегралов на поверхности L\.
Теоремы 2 и 3 доказываются с помощью теоремы 1 с использованием
регуляризации Леви-Чивита. В качестве иллюстрации рассмотрим задачу о
движении точки по плоскости в гравитационном поле п неподвижных центров.
Пусть z\,..., zn - различные точки комплексной плоскости С. Гамильтониан
задачи п центров имеет
вид H(p,z) = |рр/2 + V(z)(pe€,zeC\Hi,.. • ,4,}), где V(z) = 11
= - Y1 йк\~ - Zk\~l {цк > 0) есть гравитационный потенциал. Здесь
1
М = С, х(М) = 1, кинетическая энергия (евклидова метрика на М)
удовлетворяет необходимому условию на бесконечности, по-
144
§ 3. Геометрические препятствия к интегрируемости
тенциал V <0. Поэтому, согласно теореме 3, при п > 2 задача п центров
неинтегрируема на энергетической поверхности Н > 0. Отметим, что случаям
п = 1 и п = 2 отвечают классические интегрируемые задачи Кеплера и
