Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
Эйлера.
Укажем схему доказательства. Пусть Л - риманова поверхность функции \J{z
- z\)... (z - zn) , и 7г : Л -> С - естественная проекция. Можно
показать, что регуляризация Леви-Чивита (переход от пространства
положений М = С к римановой поверхности Л) сводит фазовый поток на
энергетической поверхности Н = h> > 0 к геодезическому потоку на Л с
некоторой полной метрикой. Пусть D - диск на комплексной плоскости С с
достаточно большим радиусом. Тогда множество Л' = 7r_1(D) компактно и
гомотопически эквивалентно Л. Согласно формуле Римана - Гурвица, у(Л) = 2
- п < 0 при п > 2. Докажем, что А' геодезически выпукло; для этого
рассмотрим такое движение z(t) с энергией h > 0, что z(0) G 0D и i(0)
касается dD. По формуле Лагранжа имеем
(W2) _ Ы2 ,of № V' Vk{z,z-zk)
= jp^-(z,V') = 2h + 2'?r^--J2 , |3
2h + 2^ - zk,z - 2Zk) > 0 при \z\ " |^|
k=\
Поэтому при малых t траектория z(t) лежит вне D, и Л' геодезически
выпукло. Остается воспользоваться заключением теоремы 1.
Оказывается, условия теорем 2 и 3 нельзя ослабить. Пусть М - двумерная
поверхность, Т - кинетическая энергия на М, Zi,...,zn - точки из М.
Зафиксируем значение полной энергии к. Справедлива
Теорема 4 [27]. Существует такой потенциал V ньютоновского типа с
особенностями в точках Z\,..., zn, что гамильтонова система с
гамильтонианом Н = Т + V имеет дополнительный аналитический интеграл,
квадратичный по импульсам, причем
1) если М некомпактно, то V < к;
2) если М компактно и п > 2у(Л7), то У < h всюду, кроме конечного числа
точек;
3) если М компактно и п ^ 2у(ЛТ), то supM V < h;
4) если М некомпактно, п ^ 2у(Л7) и Т евклидова на бесконечности, то supM
V < h.
Условие евклидовости римановой метрики Т на бесконечности означает
следующее. Пусть М получается из компактной римановой поверхности М*
выбрасыванием конечного числа бесконечно удаленных точек z*k. Тогда в
окрестности каждой точки z*k в конформных координатах на М* метрика Т
является евклидовой.
145
Глава III. Препятствия к полной интегрируемости
§ 4. Системы с гироскопическими силами
1, Пусть М - двумерное ориентированное многообразие и - 2-срорма площади
на М. Любая форма гироскопических сил имеет вид А<р, где Л - функция на
М. Будем говорить, что форма / = = \<р сохраняет знак, если А ^ О (А ^ 0)
всюду на М. Последнее заведомо выполнено, если / = 0 (т. е. система
обратима).
Следуя Биркгофу, рассмотрим задачу о существовании условных
полиномиальных интегралов. Напомним (см. § 1 гл. II), что интеграл,
определенный на фиксированной поверхности уровня интеграла энергии,
называется условным полиномиальным интегралом, если он продолжается до
функции на Т*М, полиномиальной по импульсам с однозначными на М
коэффициентами.
Предположим снова, что потенциал V ньютоновского типа имеет п особых
точек на М. Все объекты считаем аналитическими.
Теорема 1 [27]. Пусть М компактно и п> 2у(Л7). Тогда при h > supM V не
существует непостоянных полиномиальных по импульсам первых интегралов на
уровне энергии Н = h.
При п - 0 и / = 0 снова получаем теорему 1 из § 1. Оказывается, если для
любой области D С М с непустым краем выполнено неравенство
то в теореме 1 можно заменить полиномиальные интегралы на аналитические
[26]. Если форма гироскопических сил точна, то условие (4.1) заведомо
выполнено при h > supм Но, где Но =
Теорема 2 [27]. Пусть М некомпактно, кинетическая энергия евклидова на
бесконечности, потенциал V имеет п > 2у(Л7) особых точек Z\,..., zn.
Тогда не существует полиномиальных по импульсам первых интегралов на
T*(M\{zi,..., zn}), независимых от функции Н.
Если форма / точна и выполнено условие h > supM Но, то при п > 2%(М) не
существует даже аналитических непостоянных интегралов на поверхности Н =
h [26]. При / = 0 снова получаем теорему 3 из § 3.
2. 8 качестве примера рассмотрим плоскую круговую задачу многих тел.
Пусть п точек Z\,...,zn закреплены в плоскости М, вращающейся вокруг
некоторой точки О с постоянной угловой скоростью и> (вектор из
ортогонален М), а точка 2 единичной массы движется в М под действием сил
гравитационного притяжения к
(4.1)
II(p,q) | . При / = 0 получаем теорему 2 из
§ 3.
146
§ J,.. Системы с гироскопическими силами
при п- 1 и всех со (задача Кеплера), а также при п = 2 и = 0 (задача
Эйлера двух неподвижных центров). Оказывается, при п > 2 и всех ш эта
задача не имеет дополнительных аналитических интегралов. Действительно,
Но = V + \ш х Д2/2 = - ^ /л*/|-г - Zk| < О, и / = 2|о;|<р, где <р -
стандартная форма площади на плоскости М. Так как у(М) = 1, то при п > 2
и /г > 0 ограниченная задача п тел не имеет аналитического интеграла на
энергетической поверхности Н = Т + V = h.
При п - 2 и ы ф 0 (ограниченная задача трех тел) подобное утверждение не
доказано. Более того, известна гипотеза Шази об интегрируемости задачи
трех тел при положительных значениях полной энергии [5]. Эта гипотеза
связана с более общей концепцией: в задаче рассеяния частиц с
