Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
Д", что любой импульс р ? Дг (г = 1,..., п) является некритическим.
Каждому р Е Д, можно поставить в соответствие единственный инвариантный
тор Т2, на котором лежит решение g(t),p(t) уравнений Гамильтона (1.1) с
начальным условием q(0) = q, р(0) = р. Среди значений функции F при р G
Д,- нет критических, поэтому естественное отображение /,• : Д, х Т2 -> Д
= [J Т2 является
р€ Д;
непрерывным. Пусть 7Г : Т*М -> М - проекция кокасательного расслоения Т*М
на М. Положим X, - ^(0,). Непрерывное отображение п о fi : Д, х Т2 ->
индуцирует гомоморфизм групп
гомологий gi : Н^Д,- х Т2) -> Hi(X,). Так как Хг С М, существует
естественный гомоморфизм р>, ¦ Н](Х,) -> Hi(M). Обозначим через Gi
подгруппу группы Hi(A/), являющуюся образом группы Hi(A, xT2) при
гомоморфизме у>{од{ : Hi(A, xT2) -> Н^М). Элементы группы Hi(M) являются
классами гомологичных циклов, и в каждом классе есть связный цикл.
Свободно гомотопные циклы, очевидно, гомологичны; Г9-геодезические,
отвечающие некритическим начальным импульсам, замкнуты. При некоторых
критических начальных импульсах Г9-геодезические могут оказаться
незамкнутыми. Эти геодезические "наматываются" на некоторые циклы 7,
порождающие одномерные подгруппы {717, n ? Z} С С Hi(M). Согласно
предположению, число критических импульсов конечно, поэтому число таких
подгрупп тоже конечно. Обозначим их JVi,.... Nm. Если a G Нi(M) не лежит
в объединении Ni U ... U
138
§ 2. Доказательство теорем о неинтегрируемости
LJ Nm, то в классе гомологичных циклов а содержится некоторая из
замкнутых Гд-геодезических. При отображении л о /, в замкнутые Г'ч-
геодезииеские переходят некоторые замкнутые кривые в областях Ai х
Т2,..., Дп х Т2, поэтому множество Н\{М) \ (J целиком покрыто подгруппами
G\,... ,Gn. Так как Hi (А,- х Т2) = = Hi(T2) = Z2, то Gi - коммутативные
подгруппы, ранг которых не превосходит двух. Если род поверхности М равен
х, то Hi (М) = - Z2x. Поскольку М не гомеоморфно сфере и тору, то 2х ^ 4,
и из соображений размерности следует, что Hi (М) нельзя покрыть конечным
числом одно- и двумерных подгрупп. Полученное противоречие доказывает
бесконечность числа критических импульсов.
По условию а) число различных критических значений функции F : Гд -* R
конечно. Следовательно, при зафиксированном выше значении q б М функция
F(q,<p), р б S'*, бесконечно много раз принимает одно и то же значение.
Тогда, по условию б), F(q,ip) постоянна на S* (т. е. не зависит от <р).
Поверхность М связна и компактна, поэтому любые две ее точки можно
соединить кратчайшей геодезической. Функция F постоянна вдоль каждого
движения, поэтому принимает одно и то же значение во всех точках q б М,
удовлетворяющих условию б). Согласно предположению, множество таких точек
всюду плотно на М, поэтому по непрерывности F = const. Теорема доказана.
2. Для случая движения по инерции (V' = 0) В. Н. Колокольцов нашел
другое доказательство теоремы 1, основанное на введении в М комплексно-
аналитической структуры [112]. В идейном отношении оно восходит к Дж.
Биркгофу [18, гл. II].
Локально на М всегда можно так ввести координаты q\. q-z, чтобы метрика
приняла конформный вид ds2 = \(qi, q2){dq\-\-dq\) (см., например, [53,
гл. 2]). Координаты qi,q2 называются конформными или изотермическими.
Пусть РьРг - канонические импульсы, сопряженные с q\.q2¦ В переменных р,
q функция Гамильтона для движения по инерции приобретает вид Я = |Л(дч,
<7г)(Р1 +р!)-
Вводя локальную комплексную переменную z = q\ + iqi получим ds2 =
A(z,z)dzdz. Пусть z = /(u-) - голоморфная функция. Тогда dz = f'dw, dz =
f'dtv, ds2 - X\f\2 dwdw. Следовательно, конформный вид римановой метрики
инвариантен относительно голоморфных замен координат. Введем в М
комплексную структуру римановой поверхности так, чтобы хотя бы в одной
карте исходная метрика имела конформный вид. Тогда это свойство будет
иметь место во всех комплексных картах на М.
Как уже отмечалось в п. 4 § 1 гл. II, для движений по инерции вопрос о
существовании аналитического интеграла сводится к вопросу о существовании
интеграла в виде однородного полинома по
139
Глава III. Препятствия к полной интегрируемости
импульсам. Запишем его в явном виде: Fn = fk,i(qi,42)pxPl2-
k+l=n
Лемма 1. Функция
Rn - (fn,0 - fn-2,2 + fn-4,4 - •••) + i{fn-1,1 - fn-3,3 +•••)= Jfk,l
является голоморфной функцией от z = qx + iq2. k+i=n
Это утверждение получено Биркгофом [18, гл. И] при п ^ 2. Для
доказательства вычислим скобку Пуассона функций Fn и II:
k-j-l=n
- Е XPl2- E fkJ^^-(pi+Pl)PlP2 1 = 0.
k+l=n qi k + l=n Ч2
Положим в этом равенстве р\ = 1, Рг = *'¦ Тогда р\ + р2 - 0, поэ-
д &
тому -- Т' fkii1 + г-- У' fki'i1 = 0. Это равенство совпадает
9qi k+i=n ' dq2 ш=п '
с условиями Коши - Римана голоморфности функции Rn(z).
Лемма 2. Rn(z) = Rn(w(z))(w'(z))~n для всех голоморфных преобразований z
-* w(z) независимой переменной z.
Доказательство. Пусть w = Qx + iQ2 и Рх, Р2 - новые канонические
импульсы. Так как pxdqx + p2dq2 = Рх dQx + +Р2 dQ2, то pi = PXQ\+P2Q2 ,
