Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Козлов В.В. -> "Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике" -> 62

Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.

Козлов В.В. Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике — Ижевск, 1995. — 432 c.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка): simmetriitopologiiirezonansa1995.djvu
Предыдущая << 1 .. 56 57 58 59 60 61 < 62 > 63 64 65 66 67 68 .. 172 >> Следующая

алгебра Ли изоморфна алгебре so(3).
2. Если имеется несколько полей симметрий vx,..., Vk, то уравнения
движения допускают столько же линейных интегралов
Эти функции независимы и коммутируют в том и только том случае, когда
поля vx,..., гд, линейно независимы и коммутируют на М. Последнее
вытекает из тождества {F,-, Fj) = у ¦ [г>п Vj}.
*) Здесь и далее через / • у обозначается спаривание ко вектора / и
вектора у.
(6.1)
Т- 9v(x) = V(9v(x)) ¦
(6.2)
Fx = у ¦ v: , ..., Fk = у ¦ vk ¦
151
Глава III. Препятствия к полной интегрируемости
Теорема 1 [1]. Пусть М -связное, компактное, ориентируемое четномерное
многообразие. Если гамильтонова натуральная система на Т*М имеет k ^ (dim
M)j2 независимых линейных интегралов, находящихся попарно в инволюции, то
х(М) ^ 0.
В частности, при dim М - 2 линейный интеграл может быть лишь в тех
случаях, когда М диффеоморфно сфере или тору. Доказательство теоремы 1
основано на использовании результатов Кобаяси [210] о действии
коммутативных групп изометрий на римановых многообразиях. Поскольку М
компактно, то все кил-линговы поля Vi,... ,Vk полны на М: их фазовые
потоки ga определены при всех значениях а. Каждая группа ga изоморфна
либо окружности Т1 (если ее орбиты замкнуты), либо прямой К (если орбиты
некомпактны). Поля Киллинга -гц,..., v^. независимы и коммутируют,
поэтому на римановом многообразии М эффективно действует коммутативная
группа Ли изометрий G = Тт х х (0 ^ т ^ к). Эффективность действия
означает, что лишь
единичный элемент группы G оставляет на месте все точки М. Однако, если
х(М) < 0, то dimG < п/2 [210].
3. При п = 2 можно дать наглядное доказательство теоремы 1, основанное на
свойствах индекса особых точек векторного поля. Напомним, что индексом
изолированной особой точки х" поля v (обозначается ind"(x")) называется
число оборотов вектора v(x) (отсчитываемых против часовой стрелки) при
однократном обходе точки х вокруг х" в отрицательном направлении.
При х(М) < 0 поле симметрий v имеет особые точки на М. Фазовый поток <?"
является группой изометрий поверхности М, поэтому все особые точки ац.
изолированы и имеют эллиптический тип. В частности, ind^x*,) = 1. Из
формулы Пуанкаре
ХШ) = ^ind"(a;t) (6.3)
видно, что х(М) > 0. Получено противоречие.
Из формулы (6.3) следует, что на сфере (х = 2) поле симметрий имеет ровно
две особые точки, а на торе (х = 0) их вообще нет.
4. Д. Л. Абраров [1] рассмотрел более общую задачу о наличии к
инволютивных условных интегралов, линейных по импульсам; эти функции
являются интегралами уравнений геодезических метрики Мопертюи {ds)2 = 2{h
- V)T{dt)2. Метрика ds риманова внутри
области В/, - {х : V(х) ^ h}, но имеет особенности при h < max V:
м
длины кривых, лежащих на границе В/,, равны нулю, а длины кривых,
расположенных вне Bh, чисто мнимы.
Теорема 2 [1]. Пусть h -некритическое значение энергии, и на поверхности
Т/, = {Н = h} уравнения движения имеют k
152
§ 7. Топология обратимой системы с группой симметрий
2 (dim Ad)/2 условно-линейных инволютивных интегралов. Тогда х{вн) ^ 0.
При h > max V теорема 2 вытекает из теоремы 1. Пусть область
м
Ви имеет непустую границу. Удвоим Bh, отождествив границы двух
экземпляров области Bh. Тогда на 2Bh эффективно действует fc-мерная
группа Ли изометрий G (см. п. 2). Для завершения доказательства осталось
воспользоваться известной из топологии формулой х(2В) = 2х{В).
На самом же деле 2Bh не является римановым многообразием, поскольку ds =
0 на границе Bh. Чтобы избежать этой трудности, надо сначала отступить от
края Bh на небольшое расстояние в метрике Мопертюи, а уже затем
произвести склейку. Детали доказательства можно найти в работе [1].
§ 7. Топология пространства положений обратимой системы с нетривиальной
группой симметрий
1. Многие результаты этой главы допускают существенное усиление,
касающееся топологических препятствий к существованию нетривиальных групп
симметрий.
Рассмотрим обратимую систему с двумя степенями свободы; пусть М -
компактное пространство положений, Т - кинетическая, а V - потенциальная
энергия. Все эти объекты считаем аналитическими.
Пусть h - полная энергия системы, h > max У. Пусть v - ог-
м
раничение гамильтонова поля, отвечающего гамильтониану Н = = Т + V, на
трехмерную аналитическую регулярную поверхность Sh = {В = h}. Через и
обозначим аналитическое поле симметрий, определенное на Bh ([а, г;] = 0).
Теорема 1. Если род поверхности М больше единицы, то и = Аг>, где А =
const.
Этот результат усиливает теоремы 1 и 2 § 1, так как любой интеграл,
независимый с интегралом энергии, порождает нетривиальное поле симметрий.
В частности, из теоремы 1 вытекает отсутствие многозначных аналитических
интегралов. Основная трудность в доказательстве теоремы 1 состоит в том,
чтобы установить линейную зависимость векторов u, v во всех точках Bh-Так
как v ф 0, то и - Xv. Известно (см. § 3 гл. II), что А - интеграл
гамильтоновой системы на Bh¦ Поскольку А - аналитическая функция и род М
Предыдущая << 1 .. 56 57 58 59 60 61 < 62 > 63 64 65 66 67 68 .. 172 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed