Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
rank 7г(Е) = 3. Приведем пример интегрируемой гамильтоновой системы,
имеющей на энергетических поверхностях Е ровно две устойчивые замкнутые
траектории. Рассмотрим би-гармонический осциллятор, динамика которого
описывается уравнениями х\ + = О, Х2 + ^1Х2 - 0,
сщ/сдг ^ Q. Энергетическая
поверхность х2 + х\ + ы2х\ + ьз\х\ = 2h при h > 0 диффеоморфна трехмерной
сфере; поэтому Hi(T\ Z) = 0. При всех h > 0 имеются ровно два устойчивых
периодических решения:
'М .
х\ - sinwit , X2 - 0 ;
х/2h
Х\ = 0 , X2 - -------sinCJ2^ •
U>2
2. Следствие. Предположим, что группа Hi (Т, Z) конечна, и на
энергетической поверхности Е гамильтонова система не имеет устойчивых
замкнутых траекторий. Тогда на поверхности Е гамильтонова система не
имеет дополнительного боттовского интеграла.
Укажем одно из применений этого результата. Рассмотрим движение по
инерции по "-мерному замкнутому риманову многообразию М с фиксированной
(скажем, единичной) скоростью. Пусть Е2""1-расслоенное пространство
единичных касательных векторов многообразия М. Риманова метрика на М
(кинетическая энергия системы) задает на Е динамическую систему, которая
обычно
149
Глава III. Препятствия к полной интегрируемости
называется геодезическим потоком. Другими словами, геодезический поток -
это ограничение гамильтоновой системы в ГМ с гамильтонианом Н = Т на
инвариантную гиперповерхность Е = = {Н = 1}. Известный принцип Мопертюи
сводит движение в произвольном потенциальном поле к геодезическому
потоку.
Из результатов Аносова, Клингенберга и Такенса следует, что в множестве
всех геодезических потоков на гладких замкнутых римановых многообразиях
существует открытое всюду плотное подмножество потоков без устойчивых
периодических траекторий [7]. Поэтому свойство геодезического потока не
иметь устойчивых периодических траекторий является свойством общего
положения. Рассмотрим геодезические потоки на двумерной сфере. В этом
случае М = Т*S2, Е = 50(3) и Hi(X,Z) = Z2. Следовательно, геодезический
поток общего положения на двумерной сфере не имеет на неособых
энергетических поверхностях дополнительного боттовского интеграла.
3. А. Т. Фоменко [166, 166а] детально исследовал строение трехмерных
многообразий уровней интеграла энергии в интегрируемых системах и нашел
топологические инварианты интегрируемых систем, которые позволяют
эффективно различать неизоморфные системы.
§ 6. Топологические препятствия к существованию линейных интегралов
1. Хорошо известно, что наличие линейных по импульсам (или скоростям)
первых интегралов тесно связано с группами симметрий, действующих на
пространстве положений (см. п. 6 введения). Оказывается, наличие линейных
интегралов налагает ограничения не только на риманову метрику
(кинетическую энергию) и потенциал силового поля, но и на топологию
пространства положений.
Пусть Н - Т + V - гамильтониан обратимой системы, a F = = Fi + Fo - ее
линейный интеграл (5). - однородная форма по импульсам степени к). Ясно,
что {Н, F) = {Т, 5)} + {Т, F0} + {У, 5\}; здесь слагаемые - однородные
формы по импульсам степени 2, 1 и 0 соответственно. Функции Н и F
коммутируют, поэтому все эти формы равны нулю. Следовательно, Fo = 0, а
функция - интеграл обратимой системы (более того, F\ - интеграл системы с
гамильтонианом Н - Т).
Итак, линейные интегралы гамильтоновой системы на Т* М однородны по
импульсам. Поэтому их можно представить в виде F - у ¦ v(x), где у -
канонический импульс, v - векторное поле на
150
§ 6. Препятствия к существованию линейных интегралов
М. В лагранжевом формализме линейные интегралы имеют вид*)
где ( , ) - метрика на М, задаваемая кинетической энергией. Векторное
поле v порождает динамическую систему на М; пусть <7" - ее фазовый поток:
Согласно теореме о выпрямлении, в малой окрестности неособой точки поля v
система уравнений (6.2) приводится к виду
В этих специальных координатах F = дТ/дхх, а функции Т и V не зависят
явно от Х\. Локальная координата хх называется циклической. Фазовый поток
<7" сводится к семейству сдвигов хх -> хх + а, Х2 -> Х2 , ..., хп ->• хп.
В частности, функции Т и V инвариантны относительно действия группы д°.
Этот результат - обращение теоремы Нётер для натуральных систем.
Векторное поле.г; называется полем симметрий; в римановой геометрии поле
v обычно называют полем Киллинга. Функция F является интегралом уравнений
геодезических (уравнений Гамильтона с гамильтонианом Н = Т), поэтому
группа д% переводит геодезические на М в геодезические. Далее, учитывая
сохранение римановой метрики Т относительно действия да, получаем, что да
сохраняет расстояния между точками на М. Следовательно, да -
однопараметрическая группа изометрий риманова многообразия М.
Поля Киллинга на Мп образуют алгебру Ли размерности к ^ ^ п(п+ 1)/2,
причем равенство имеет место для римановых многообразий постоянной
кривизны. Например, на двумерных сферах |.т| = const в евклидовом
пространстве К3 = {х} поля е х х, е = const, являются киллинговыми. Их
