Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Козлов В.В. -> "Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике" -> 54

Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.

Козлов В.В. Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике — Ижевск, 1995. — 432 c.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка): simmetriitopologiiirezonansa1995.djvu
Предыдущая << 1 .. 48 49 50 51 52 53 < 54 > 55 56 57 58 59 60 .. 172 >> Следующая

независимы в какой-то точке (тогда они независимы почти всюду).
Хорошо известны многочисленные примеры интегрируемых систем,
конфигурационные пространства которых гомеоморфны S2 или Т2 (скажем,
движение материальной точки по инерции по "стандартной" сфере или тору).
В бесконечно дифференцируемом случае теорема 1, вообще говоря, не
справедлива: для любой гладкой поверхности М можно указать такой
"натуральный" гамильтониан Н = Т + V, что уравнения Гамильтона (1.1) на
Т*М имеют дополнительный бесконечно дифференцируемый интеграл,
независимый (точнее, не всюду зависимый) с функцией Н. Действительно,
рассмотрим стандартную сферу S2 в К3; пусть поверхность М получается из
S2 приклеиванием любого числа ручек к некоторой малой области N на S2.
Пусть Н - функция Гамильтона задачи о движении точки по инерции (V = 0)
по поверхности М, вложенной в К3. Вне области N точка будет двигаться,
очевидно, по большим кругам сферы S2. Следовательно, в фазовом
пространстве Т*М существует инвариантная область, диффеоморфная прямому
произведению DxT2, расслоенная на двумерные инвариантные торы. Точки из
области D "нумеруют" эти торы. Пусть /:?)-> К - гладкая функция,
обращающаяся в нуль вне некоторой подобласти G, целиком лежащей в D.
Функции / соответствует гладкая функция F на D х Т2, постоянная на
инвариантных торах из й х Т2. Она продолжается до гладкой функции на всем
Т*М, если положить F - 0 вне множества G х Т2. Очевидно, что F - первый
интеграл канонических уравнений (1.1), и функции Н и F (при подходящем
выборе /) не всюду зависимы.
2. Теорема 1 следуют из более сильного утверждения, устанавливающего
неинтегрируемость уравнений движения при фиксированных достаточно больших
значениях полной энергии. Точная формулировка состоит в следующем. При
всех значениях h > max V
м
134
§ 1. Топология пространства положений
-J
уровень полной энергии Sh - {z ? Т*М : Т + V = К) является трехмерным
аналитическим многообразием, имеющим естественную структуру расслоенного
пространства с базой расслоения М и слоем S1. Локальными координатами на
Sh являются q и <р, где q - координаты на М, а <р - угловая переменная на
"слое" Sg = {р ? Т*М \ T(p,q) + V(q) = h} (окружности в кока-сательной
плоскости). Исходное гамильтоново векторное поле иц касается Sh, поэтому
на Sh возникает некоторая аналитическая система дифференциальных
уравнений. Справедлива
Теорема 2. Если род поверхности М не равен 0 и 1, то при всех h > max V
поток на Sh не имеет непостоянного аналитического интеграла.
3. В бесконечно дифференцируемом случае в предположениях теорем 1, 2
можно утверждать отсутствие новых гладких интегралов, удовлетворяющих
некоторым дополнительным условиям.
Теорема 3. Если род гладкой поверхности М отличен от 0 и 1, то при всех h
> max V фазовый поток на Sh не имеет бесконечно дифференцируемого первого
интеграла f : Sh -> М, который
а) имеет конечное число критических значений, и при этом
б) точки q ? М, для которых множества {<р G Sg : f(q. у) = с} конечны или
совпадают со всем слоем Sg, всюду плотны на М.
В аналитическом случае условия а), б) выполняются автоматически. При этом
свойство б), очевидно, имеет место для всех q ? М. Свойство а)
нетривиально; его доказательство можно найти в работе [233].
Более общо, если компактная ориентируемая гладкая поверхность М не
гомеоморфна сфере и тору, то уравнения движения не имеют нового интеграла
F(p,q), являющегося бесконечно дифференцируемой функцией на Т*А/,
аналитической при фиксированных q ? М на кокасательных плоскостях Т*М и
имеющей конечное число различных критических значений. Полиномиальные по
скоростям функции представляют распространенный пример интегралов,
аналитических по импульсам р. Количество различных критических значений
гладкой функции на компактном многообразии конечно, если, например, все
критические точки изолированы или критические точки образуют
невырожденные критические многообразия.
Пример п. 1 не противоречит теореме 3: свойство б) заведомо не выполнено
для точек q ? М, достаточно удаленных от "особой" области N (и
симметричной ей относительно центра сферы).
135
Глава III. Препятствуя к полной интегрируемости
4. Теоремы 1-3 справедливы и в случае неориентируемых компактных
поверхностей, если дополнительно исключить проективную плоскость RP2 и
бутылку Клейна К. Действительно, стандартное регулярное двулистное
накрытие N -> М, где N - ориентированная поверхность, индуцирует
некоторую натуральную механическую систему на N, которая обладает
дополнительным интегралом, если новый интеграл есть у системы на М.
Остается заметить, что когда М не гомеоморфна RP2 и К, то род поверхности
N больше 1.
5. Согласно принципу Мопертюи, траектории движений механической системы с
запасом полной энергии h > max V являются
м
геодезическими линиями римановой метрики (ds)2 = 2(h - V)T dt2 на М.
Пусть к - гауссова кривизна метрики Мопертюи ds. По формуле Гаусса -
Бонне Е JMkda = х(М), где х(М)-эйлерова характеристика компактной
Предыдущая << 1 .. 48 49 50 51 52 53 < 54 > 55 56 57 58 59 60 .. 172 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed