Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Козлов В.В. -> "Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике" -> 57

Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.

Козлов В.В. Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике — Ижевск, 1995. — 432 c.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка): simmetriitopologiiirezonansa1995.djvu
Предыдущая << 1 .. 51 52 53 54 55 56 < 57 > 58 59 60 61 62 63 .. 172 >> Следующая

р2 = -PiQ2+P2Q'x , где Q\ = dQi/dqx (i = 1,2). Отсюда Fn{p,q) = ?
fk<i(w)(PxQ'x + P2Q'2)k{-P\Q'2 +
k-\-l=n
+ I\Q'X)1 ¦ Полагая в этом равенстве Рх = 1, Р2 = г, получим
= Е + iQ'2)k{-Q'2 + iQ'x)1 =
k+l=n = (Е /*.'(*)*¦') +г'^)п=ы*)ыг,
k+l=n
что и требовалось доказать.
Лемма 3. Имеет место тождество Rn(z) = 0.
Доказательство. Пусть Rn{z) ф 0. Тогда, согласно лемме 2,
дифференциальная форма
(,dz)n/Rn(z) (2.1)
инвариантна относительно голоморфных замен переменных. При n = 1 она
является обычным абелевым дифференциалом, так как функция Rxl мероморфна
на римановой поверхности М. При я> > 1 форму (2.1) будем называть я-
дифференциалом.
140
§ 3. Геометрические препятствия к интегрируемости
Хорошо известно (см., например, [46, гл. 9]), что для любого абелева
дифференциала на компактной римановой поверхности М рода х разность между
числом нулей и числом полюсов равна 2х-2. Для ?г-дифференциала эта
разность равна, очевидно, 2п(х - - 1) (доказательство дословно повторяет
рассуждения для классического случая п = 1). Ввиду локальной
голоморфности Rn{z) л-дифференциал (2.1) не имеет нулей. Следовательно,
число его полюсов равно 2п(1 - х); оно отрицательно, так как род х больше
единицы. Получено противоречие.
Лемма 4. Если Rn = 0, то Fn = ЯЯП_2-
Действительно, положим (2/Л)Яп_2 = 071-2,оРГ2 + fln-3,ip"_3P2+ + . • - +
<к),п-2Р2~2- Равенство Fn == ЯЯП_2 имеет место в том и только том случае,
когда алгебраические системы уравнений
разрешимы. Условием разрешимости являются равенства /пд - - fn-2,2 + • •
• = fn-1,1 - fn-з.з + . • • = 0. Что и требовалось доказать.
Для завершения доказательства неинтегрируемости Ьстается применить
индукцию по убыванию п\ если имеется полиномиальный интеграл степени 2к
или 2к + 1, то имеется интеграл степени 0 или 1 соответственно. Первый
случай тривиален, а во втором случае F\ = aq\ + bq2 и> согласно лемме 3,
Я] = а + ib = 0. Поэтому Fi = 0. Итак, Fn = 0 при нечетных п, и F" =
сНп^2 при четных п.
Заметим, что в доказательстве несуществования полиномиального интеграла
нигде не использовалась аналитичность его коэффициентов: достаточно
предположить, что они из класса С1(М). Поэтому можно подумать, что тем
самым доказан более сильный результат по сравнению с теоремой 1. Однако,
как показал
С. В. Болотин [27], если М, Т, V аналитичны, то любой полиномиальный
интеграл является аналитической функцией на Т* М.
3. Доказательство теоремы 4 использует сложную топологическую технику
и здесь не приводится (см. [155, 156]); в отличие от доказательства п. 1,
оно не дает содержательной информации о явлениях качественного характера,
препятствующих интегрируемости.
§ 3. Геометрические препятствия к интегрируемости
1. Другой возможный путь обобщения теоремы 1 § 1 состоит в
рассмотрении областей с геодезически ьыпуклой границей. Предположим, что
М' - компактное подмногообразие с краем на ана-
ап-2,0 - /п,0 * ап-2,0 + ап-4,2 = fn-2,2
^71-3,1 f П -1,1 7
а71-ЗД + °71-5,3 = /71-3,3 7
141
Глава III. Препятствия к полной интегрируемости
литической двумерной поверхности М. Через S' обозначим множество всех
точек трехмерной поверхности Г = {Н = h}, которые переходят при
проектировании 7Г : ТМ -¦ М в точки на М'. Будем говорить, что М' -
геодезически выпукло, если для любых двух близких точек на границе дМ'
соединяющая их кратчайшая геодезическая целиком лежит в множестве М'.
Теорема 1. Пусть М' -геодезически выпуклое подмногообразие с
отрицательной эйлеровой характеристикой. Тогда геодезический поток на Е
не имеет непостоянного аналитического интеграла. Более того,
аналитический интеграл заведомо отсутствует в каждой окрестности
множества S' в S.
Если дМ' = 0, то мы снова получим теорему 1 § 1. Теорема 1 настоящего
параграфа сначала была установлена автором в предположении, что первое
число Бетти поверхности М' больше двух. Затем С. В. Болотин заменил это
условие более слабым: х(М') < < 0, где у - эйлерова характеристика [25].
2. Доказательство теоремы 1 основано на методе работы [81] (см. п. 1 §
2). Оно использует тот факт, что в каждом классе свободно гомотопных
путей на М' имеется неустойчивая замкнутая геодезическая. Существование
замкнутых геодезических (без анализа устойчивости) на многообразиях с
выпуклой границей было отмечено в классических работах Уиттекера [163] и
Биркгофа [18]. Вместо группы гомологий, примененной для доказательства
неинтегрируемости в случае пустого дМ', здесь используются другие
топологические инварианты [25].
3. Из теоремы 1 можно вывести ряд любопытных утверждений, касающихся
условий интегрируемости геодезических потоков на сфере и торе. Они
сообщены автору С. В. Болотиным.
Следствие 1. Предположим, что на двумерном аналитическом торе Т2 имеется
замкнутая геодезическая, гомотопная нулю. Тогда геодезический поток,
порожденный метрикой на Т2, не имеет непостоянного аналитического
интеграла.
Доказательство. Пусть 7 - замкнутая геодезическая на Т2, стягиваемая в
Предыдущая << 1 .. 51 52 53 54 55 56 < 57 > 58 59 60 61 62 63 .. 172 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed