Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
больше единицы, то А = const по теореме 2 из § 1.
2. Рассмотрим более простую задачу, когда V = const. Тогда система
движется по геодезическим на М. Вводя изотермические
153
Глава III. Препятствуя к полной интегрируемости
координаты 91,92) функцию Гамильтона можно привести к виду (см. п. 2 § 2)
Н = Л(9Ь 92)(р( + р\)/2. При этом оператор дифференцирования вдоль
гамильтонова поля v с гамильтонианом Н становится равным
Г Л ^ Л ^ 1ЙЛ , 2 Я 13Л 2 2 Я
v~ Pid^i+ P2^2~2^Pl+P2^1~2^2 2
Пусть Я Я Я Я
Lu = Qio *"Ф2я ^Р1я ^^я- (7-2)
091 092 5pi
- оператор дифференцирования вдоль поля симметрий и. Предположим, что
функции Qj и Pj аналитичны по импульсам р\ и р2-
Теорема 2. Если род поверхности М больше единицы, то u - Xv, где X-
аналитическая функция от Н.
Этот результат формально не вытекает из теоремы 1, посколь-
ку мы не предполагаем аналитичности поля и по координатам 9ь?2-
Доказательство теоремы 2 основано на методе Биркгофа (см. п. 2 § 2).
Разложим функции Qj и Pj в ряды по однородным формам от импульсов: Qj =
Q(f'\ Pj = Pjm).
m^O m^O
Лемма 1. Если операторы (7.1) и (7.2) коммутируют, то оператор (7.1)
коммутирует с каждым из операторов
L(0) = p(°)JL (0)5 (73)
dpi др2
р(т) = g(m-1) g(m-l) рМ JL +
дЧ1 ^ 42 dq2 1
+ m>1. (7.4)
Это очевидное утверждение позволяет свести задачу об аналитическом поле
симметрий к задаче о поле симметрий с однородными полиномиальными
компонентами.
Лемма 2. Предположим, что операторы (7.1) и (7.3) коммутируют. Тогда Р\^
= Р^ = 0.
Заключение леммы 2 не зависит, разумеется, от рода поверхности М.
154
§ 7. Топология обратимой системы с группой симметрий.
Итак, будем предполагать, что Р, = Р- , Qi = Q, , где m ^ ^ 1. Положим pi
= 1, pi = i. Тогда Pi и Р2 становятся комплекснозначными функциями от <7i
и <72. Обозначим их Р{ и Р2 соответственно.
Лемма 3. R = A(Pj* + iP2) -голоморфная функция от ~ = 91 + Щ2-
Доказательство. Вычислим коммутатор [Pu, Lv], приравняем нулю
коэффициенты при д/др\, д/др2 и положим затем Pi - 1) Р2 = *'• В
результате получим соотношения
.8Р{ дЛп, .(кдР{ дАЛ п
~я----^ я- 1 1 ( ~а ^ я 2 ) - '
dqi dqi \ dq2 dqi J
9Рг 9A Dt\ , кдР; дА
Adq2 +dq2P*)+Adqi + dq/' °'
д d
Из (7.5) вытекает равенство --A(/J1* + iP2) + i--A(PX +iP2) - 0,
dqi dq2
которое является критерием голоморфности функции А(Р* + iP.j) Лемма
доказана.
Лемма 4. Справедливо равенство R(z) = 0.
Действительно, пусть z -+ w(z) - голоморфная функция. Согласно лемме 2 §
2, имеем R(z) = R(w(z))(w'(z))~m, где m - степень однородного многочлена
A (Pi + гР2).
Род поверхности М больше единицы, поэтому можно применить лемму 3 § 2,
которая утверждает, что R = 0. Что и требовалось доказать.
с)Р[ .8 Pi
Итак, Р,* + гР2* = 0. Из (7.5) получаем равенства - 1- г
dqi dq2
дРу эр;
= 0 и 1- г-- = 0. Следовательно, Р{ и Р2 -локальные голо-
dqi dq2
морфные функции от г = qx -f iq2. Очевидно, для них имеет место
заключение леммы 4: Рх* = Р2 =0.
Согласно лемме 4 § 2, Pi = НР[ и Р2 - НР2, где Н - интеграл энергии.
Покажем теперь, что многочлены Q\, Q2 также делятся на многочлен Н. Пусть
Q* -значение функции Qj при рх - 1, р2 = г.
Лемма 5. S = Q\ + iQ\ -голоморфная функция от z - = qi + iq2.
Доказательство. Вычислим коммутатор [Lu, Lv], приравняем нулю
коэффициенты при d/dqx, djdq2, положим рх = 1,
155
Глава III. Препятствия к полной интегрируемости
Р2 = г и воспользуемся тождествами Р{ = Р2 = 0. В результате получим
соотношения
п.дА n,9A_,d_Q\_ d_Q\_
ldqx 2dq2 dqi dq2
dA . _ dA 4 dQX 4 dQX
iQlw- + iQ*27r - A-p. _ iA-p = 0 .
oq i oq2 dqi dq2
(7.6)
d d
Из (7.6) вытекает, что (Q\ + iQ2) + г-- (QJ + iQ*2) = 0. Сле-
oq i dq2
довательно, S = QJ + iQ2 - локальная голоморфная функция от z - q\+ iq2,
что и требовалось доказать.
Согласно лемме 4, S = 0. Но тогда из (7.6) получаем соотноше-
д Q*. . д qi до; д о;
ния ------ + г- - = 0 и --------- + г----= 0. Следовательно,
dqi A dq2 A dqi A dq2 А
QI/ Ли Q2/А - локальные голоморфные функции от z. По лемме 4 они
тождественно равны нулю. Применяя лемму 4 из § 2, получаем, что Qj = Н.
Итак, и = Ни!. Множитель Н - интеграл уравнений движения, поэтому и'
также является полем симметрий. Однако его степень по импульсам на две
единицы меньше степени т поля и. Индукцией по убыванию т сведем исходную
задачу к задаче о наличии однородного поля симметрий степени т = 0 или т
- 1.
Случай т = 0 охватывается леммой 2. При т = 1, очевидно, Qi = Q2 = 0.
Пусть Pj = Qpi + rjjpi- Как было показано выше, Р* = = Q + щ = 0.
Следовательно, Q = q3 = 0. Поэтому при т = 1 поле симметрий обращается
тождественно в нуль. Теорема 2 доказана полностью.
3. Топологические препятствия к существованию нетривиальных групп
симметрий обратимых систем впервые получены автором в [106] (теорема 2).
Там же сформулирована в виде гипотезы теорема 1. Эта теорема доказана С.
В. Болотиным с помощью детального анализа семейства траекторий,
двоякоасимптотических к периодическим траекториям из различных
гомотопических классов. Более точно, доказано, что в предположениях
