Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
начинается с тех
же членов, что и G. Можно показать прямым вычислением, что с учетом
слагаемых степени ^ 3 функции К и G действительно независимы. Обсуждение
численных результатов Хенона и Хейлеса в связи с построением формального
интеграла можно найти у Густавсона [199] и Мозера [130].
2. Нормализация гамильтоновой системы в окрестности устойчивого
равновесия тесно связана с классической схемой теории возмущений.
Действительно, вводя с помощью подстановки х -> ех, у -> ву малый
параметр е и переходя к полярным координатам /,<р по формулам xs = у/2/,
sin<ps, ys = >/2Is cos <ps, получим гамильтонову систему Is = -dH/dips,
фа = dHjdls с функцией Гамильтона Я = X ?тЯ^(/,<р), Щ = H*m =
Hm+2(x,y)\I ,
m2 О
27г-периодической по <р. Если частоты as рационально независимы, то
существуют формальные ряды классической теории возмущений, которым
соответствует как раз преобразование Биркгофа. Теорему Рюссмана-Вея можно
вывести с помощью этого же приема из теоремы 1 § 10.
3. В приложениях функция Я обычно зависит еще от некоторых параметров е ?
D (D - область в Кт). Будем считать, что функция H(z,e) аналитична по
z,e, и Я'(0, е) = 0 для всех е. Если при всех е собственные числа
линеаризованной системы чисто мнимы и различны, то подходящим линейным
симплектическим преобразованием, аналитическим по е, форму Я2 можно
привести к "нормальному" виду (11.1). Коэффициенты аа будут, конечно,
аналитичны по г. Следующая теорема является незначительным усилением
результата Рюссмана-Вея.
Теорема 5 [88]. Пусть существуют п интегралов в инволюции Gk(x, у, е) = \
X xke(e)(xj + у2) + Y Gkj(x, у, г), аналити-
s j>3
ческих по ? и таких, что det ||хь(е)|| ф 0 при всех s G D. Тогда
существует аналитическое каноническое преобразование х,у -> ?/,
аналитическое по г, которое переводит Н(х,у,е) в гамильтониан К{ръ.,.
,pn,e), ps = ?2 + rj2.
Если ряды X Gkj формальные (не обязательно сходящиеся), то можно найти
формальное каноническое преобразование, "норма-
5 Козлов В. В.
129
Глава II. Интегрирование гамильтоновых систем
лизующее" гамильтониан Н. В частности, в условиях теоремы преобразование
Биркгофа существует и при рационально зависимых наборах частот ач,...,а".
Аналог теоремы 4 для гамильтоновых систем, зависящих от параметра, указан
в [74]. В работе [142] рассмотрена задача о приводимости к нормальной
форме Биркгофа гамильтоновых систем с параметром, допускающих интегралы с
вырожденными квадратичными частями. Пусть п - 2 и коэффициенты ai,a2 в
квадратичной форме гамильтониана (11.1) как функции ? удовлетворяют
условию m\Cti + Ш2а2 ф 0 для всех целых mi,m2, не равных одновременно
нулю. В [142] доказано, что если гамильтонова система допускает
формальный интеграл F = Fq + Fq+i + ... {д ^ 2), аналитический по г,
причем однородные формы Fq и Н2 функционально независимы при всех е, то
существует нормализующее преобразование Биркгофа, аналитически зависящее
от е.
По-видимому, для гамильтоновых систем, зависящих от параметра, справедлив
аналог теоремы 3.
4. В общем случае, когда не все собственные числа ±АЬ ..., ±А" чисто
мнимые, также можно привести уравнения Гамильтона к нормальной форме
Биркгофа. Детальное обсуждение этих вопросов содержится, например, в
книге [230]. В общем случае уравнения Г амильтона имеют инвариантные
асимптотические поверхности Е, сплошь заполненные траекториями,
неограниченно приближающимися к положениям равновесия при t -> ±оо.
Оказывается, преобразование Биркгофа может задаваться расходящимися
степенными рядами, однако эти ряды сходятся в точках из Е.
Рассмотрим более подробно случай, когда собственные числа ±Ai,...,±A"
вещественны и отличны от нуля. Тогда равновесие, очевидно, неустойчиво.
Не ограничивая общности, можно считать, что все числа А* положительны.
Будем предполагать, что среди них нет равных. Тогда в подходящих
канонических координатах х,у функция Гамильтона приводится к виду
П
Я=ЕЯ*' Я2 = Х>Л% • (П-4)
2 1=1
Следуя общим идеям § 2 гл. II, будем искать n-мерную инвариантную
асимптотическую поверхность Е в виде
у - dS/dx , (11-5)
где функция S(x) удовлетворяет уравнению Гамильтона - Якоби
§ 11. Нормальные формы
Выбор нулевой постоянной в правой части этого уравнения связан с тем, что
положение равновесия х = у = 0 лежит на Е. Ищем S в виде ряда по
однородным формам от х\,..., хп:
S = ]Tsk(x). (11.7)
к^2
Учитывая выражение (11.4) для функции Гамильтона, получим цепочку
уравнений для последовательного определения
S2,...,Sk,.. •:
¦ , dS2 п , Ал тт- - 0 '
Е
Е
dxj
к ^ 3
(11.8)
Здесь Wk - некоторые функции, однозначно определяемые величинами Нг и ST
при г < к. Поскольку А> 0, то S2 = 0. Далее, пусть Sk содержит член вида
si"' .. . x"", aj - к- Тогда из (11.8) получаем, что
s = w/(X\a\ + ... + А"а") , (П.9)
где w - коэффициент при ... ж"" в однородной форме Wk- Таким образом,
степенной ряд для S находится однозначнб. Знаменатели Aiai + .. .+AnaR в
(11.9) отделены от нуля, поэтому ничто не препятствует сходимости ряда
