Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
некомпактным пространством положений данные на бесконечности (скажем,
импульсы частиц) являются кандидатами на роль первых интегралов. Однако
реализация этой идеи сталкивается с рядом затруднений принципиального
характера, связанных с областью определения и гладкостью "интегралов
рассеяния". Одна из таких трудностей - возможность захвата в задаче
многих взаимодействующих частиц.
В ограниченной задаче трех тел известны более слабые результаты о
неинтегрируемости. Пуанкаре доказал отсутствие дополнительных интегралов,
аналитических по массам щ и Р2 "тяжелых" точек [225]. Либре и Симо [216],
используя метод квазислучайных движений по В. М. Алексееву, доказали
несуществование нового аналитического интеграла при условии, что масса
одного из тел мала. Кроме этого, известен результат К. Зигеля [229] об
отсутствии новых алгебраических первых интегралов; это утверждение
доказывается методом Брунса. По-видимому, ограниченная задача трех тел не
допускает полиномиальных по импульсам первых интегралов, независимых от
интеграла энергии.
3. При п - 2х(М) структура гироскопических сил - определяющий фактор
интегрируемости гамильтоновой системы.
Теорема 3 [27]. Пусть М компактно, а потенциал ньютоновского типа имеет
2у(Л7) особых точек. Если
то не существует условного полиномиального интеграла на уровне Н = h, где
h > sup^ V.
Покажем, что при условиях теоремы 3 могут существовать аналитические
первые интегралы. Для этой цели рассмотрим движе-
(4.2)
147
Глава III. Препятствия к полной интегрируемости
ние заряда по плоскому тору Т2 = {я, у mod 2-к] в постоянном магнитном
поле; его динамика описывается уравнениями
х + ау - у - ах = 0, а - const . (4-3)
В этом случае х(М) = 0, особых точек нет. Форма гироскопических сил /
равна -adx Л dy. Следовательно, при а ф 0 выполнено условие (4.2).
Поэтому уравнения (4.3) не допускают полиномиальных интегралов с
однозначными коэффициентами, независимых от интеграла энергии. Очевидные
линейные интегралы х + + ау, у- ах многозначны в фазовом пространстве ТМ
- R2 х Т2. Функция sin(y + х/а) - однозначный аналитический интеграл, не
являющийся полиномом по х.
В некомпактном случае условия существования дополнительного
полиномиального интеграла не удается представить в виде топологических
ограничений.
Доказательство теоремы 3 проведено в § 2 гл. VIII в предположении, что
поверхность М гомеоморфна двумерному тору с плоской метрикой.
§ 5. Интегралы общего положения
1. Еще один подход к изучению топологических препятствий к полной
интегрируемости гамильтоновых систем предложен А. Т. Фоменко [165, 166а].
Он связывает факт наличия дополнительного гладкого интеграла общего
положения с топологией поверхности уровня интеграла энергии и количеством
устойчивых замкнутых траекторий.
Перейдем к точным формулировкам. Пусть М4 -фазовое пространство
гамильтоновой системы с двумя степенями свободы, Н - функция Гамильтона.
Рассмотрим фиксированную компактную трехмерную поверхность S С М
неособого уровня гамильтониана Н. Предположим, что гамильтонова система
имеет на Г гладкий интеграл /. Назовем этот интеграл боттовским, если его
критические точки образуют на Г невырожденные критические подмногообразия
N, т. е. гессиан d2f невырожден на подпространствах, трансверсальных к
этим подмногообразиям. Как показывает анализ конкретных
проинтегрированных задач классической механики, во всех известных случаях
дополнительные интегралы оказываются боттовскими. Некритические
поверхности уровня функции f всегда ориентируемы (это вытекает из
ориентируемости симплектического многообразия М и некритичности
поверхности Г). Критические поверхности N могут быть и неори-ентируемыми.
В связи с этим обстоятельством естественно назвать интеграл /
ориентируемым, если все критические многообразия ориентируемы. Можно
показать, что, переходя к подходящему двулистному накрытию над S,
интеграл / всегда можно
148
§ 5. Интегралы общего положения
делать ориентируемым.
Замкнутую траекторию гамильтоновой системы на Е назовем устойчивой, если
некоторая ее трубчатая окрестность в Е цели-сом расслоена на двумерные
концентрические инвариантные то-ры (некритические поверхности уровня
функции /). Ясно, что если в точках замкнутой траектории функция /
достигает строгого юкального максимума или минимума, то эта траектория
устойчива. Пример движения по инерции на плоском двумерном торе
показывает, что не всякая вполне интегрируемая система имеет устойчивые
траектории.
Теорема 1 [165]. Предположим, что гамильтонова система имеет на
поверхности Е ориентируемый боттовский интеграл /. Тогда, если группа
гомологий Hi(X\ Z) конечна или ранг фундаментальной группы 7г(Е) равен 1,
то гамильтонова система имеет на Е по меньшей мере две устойчивые
замкнутые траектории, при этом / достигает на каждой из этих траекторий
строгого локального минимума или максимума.
В случае движения по инерции по плоскому тору Т2 имеем Е - = Т3, поэтому
