Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
(11.7) в аналитическом случае (см. по этому поводу работы [31, 32], в
которых сходимость доказана для обратимых систем, а также для некоторых
систем с гироскопическими силами). Можно показать, что если функция
Гамильтона бесконечно дифференцируема, то соответствующее уравнение
Гамильтона - Якоби имеет решение из класса С°°(МП = {х}) с критической
точкой х = 0 (см. по этому поводу [23]).
Итак, гамильтонова система с гамильтонианом (11.4) имеет 71-мерную
инвариантную поверхность Е, причем Х\,..., хп можно рассматривать как
локальные координаты на Е. Ограничим гамильтонову систему на Е. В
результате получим систему п дифференциальных уравнений с положением
равновесия при х = 0:
дН Q
. Эта система имеет вид
у~дЗ/дх
ij = AjXj + ... , 1 ^ j ^ п . (11.10)
Многоточие означает члены порядка ^ 2. Так как Aj > 0, то все решения
(11.10) стремятся к точке х = 0 при t -> -оо. Для того, чтобы получить
асимптотическую поверхность с траекториями, приближающимися к положению
равновесия при t -> +оо, достаточно поменять ролями группы переменных х и
у.
Х ду
5*
131
Глава II. Интегрирование гамилыпоиовых систем
В приложениях часто встречаются обратимые системы с гамильтонианом Н = \
а1](х)У<У] + V(x)- Пусть х = 0 - невырож-
денный локальный максимум потенциальной .энергии V, и П(0) =
1 д S 3 S
= 0. Тогда уравнение Гамильтона - Якоби - V а,-, ---- -f V = 0
2 dxi dxj
имеет два решения: ±5', определенные в некоторой окрестности точки х = 0.
Соответствующая система уравнений (11.10) прини-
п од
мает вид градиентной системы: Xj = )Г фт(-т)д- (1 ^ j ^ ")•
ЩЧ ох к
Согласно теореме Биркгофа, найдется такое формальное каноническое
преобразование .г, у -> ?, ту вида
35 _ ОБ
п 5 У к п '
от охк
(11.11)
S(x, rj) = S2 + s3 + ... , S2 = Y1 Хк11к '
fc=l
что в новых координатах функция Гамильтона будет степенным рядом К от wi
= ?1771,..., wn = ?,пт]п> начинающимся с линейных членов Xsws. Ясно, что
производящая функция S удовлетворяет уравнению
/ ds\ r" , as .
W=frq71' (ПЛ2)
Одна из асимптотических поверхностей задается уравнениями гц ==... = т]п
= 0, подставляя которые в (11.11) и (11.12), получим уже известные нам
соотношения (11.5) и (11.6), определяющие эту асимптотическую
поверхность. В частности, нормализующее преобразование Биркгофа (11.11)
сходится при г/ = 0. Аналогичный результат справедлив и для другой
асимптотической поверхности.
Обстоятельный анализ сходимости нормализующих преобразований (причем не
только уравнений Гамильтона) можно найти в книге А. Д. Брюно [30].
5. Преобразование к нормальной форме можно производить не только в
окрестности положений равновесия, но и, например, в окрестности
периодических траекторий. Все сказанное выше с необходимыми изменениями
справедливо и в этом случае.
132
ГЛАВА III
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕПЯТСТВИЯ К ПОЛНОЙ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ
Анализ причин неинтегрируемости гамильтоновых систем начнем с обсуждения
обнаруженных сравнительно недавно "грубых" препятствий топологического
характера. В работе [81] доказано, что замкнутая аналитическая
поверхность рода х, х ^ 2 не может быть конфигурационным пространством
аналитической интегрируемой системы; причиной является наличие большого
числа неустойчивых периодических траекторий, на которых первые интегралы
зависимы. Этот результат (не замеченный классиками из-за пристрастия к
локальному рассмотрению динамических систем) обобщен в различных
направлениях. Доказательство неинтегрируемости использует вариационные
методы и тонкие факты из т'юрии особенностей аналитических отображений.
§ 1. Топология пространства положений интегрируемой системы
1. Рассмотрим обратимую механическую систему с двумя степенями свободы
(см. п. 8 § 1 гл. I). Будем предполагать, что ее пространство положений М
- компактная ориентируемая аналитическая поверхность. Хорошо известно
топологическое строение таких поверхностей - это сферы с некоторым числом
х приклеенных ручек (число х-род поверхности).
Движения обратимой системы описываются уравнениями Гамильтона в
кокасательном расслоении Т*М, которое является ее фазовым пространством.
Расслоение Т*М имеет естественную структуру четырехмерного аналитического
многообразия. Будем считать, что функция Гамильтона Я : Т*М -> К всюду
аналитична. Так как Н = T(p,q) + V(q) и T(p,q) при всех q G М является
квадратичной формой от р ? Т*М, то функции Т (кинетическая энергия) и V
(потенциальная энергия) аналитичны соответственно
133
Глава III. Препятствия к полной интегрируемости
наГМи М. Решения канонических уравнений
дН дН , ч
(1Л)
являются аналитическими отображениями из М = {?} в Т*М. На их траекториях
полная энергия Н = Т + V, конечно, постоянна.
Теорема 1 [81]. Если род поверхности М отличен от 0 и 1 (т. е. М не
томеоморфна сфере S2 и тору Т2), то уравнения (1.1) не имеют первого
интеграла, аналитического на Т*М и независимого от интеграла энергии.
Напомним, что аналитические функции считаются независимыми, если они
