Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
поверхности М. Если род М больше 1, то х{М) < 0. Следовательно, средняя
кривизна отрицательна. Если кривизна отрицательна всюду, то динамическая
система на Eh будет У-системой (или системой Аносова) и, следовательно,
эргодической на Eh [6]. Этот результат справедлив и в многомерном случае
(нужно только потребовать отрицательность кривизны по всем двумерным
направлениям). При этом дифференциальные уравнения на Eh не имеют даже
непрерывных непостоянных интегралов, поскольку почти все траектории всюду
плотны на Eh-Конечно, отрицательная в среднем кривизна далеко не всегда
будет отрицательной всюду.
6. Обобщение теорем 1 и 2 на многомерный случай содержится в работах И.
А. Тайманова [155, 156].
Напомним сначала определение чисел Бетти. Пусть М - гладкое компактное
многообразие размерности п. Дифференциальные fc-формы на М образуют
линейное пространство над полем R, замкнутые А;-формы - его
подпространство, а дифференциалы (к - 1)-форм - подпространство
пространства замкнутых форм. Отождествляя замкнутые формы, отличающиеся
друг от друга на дифференциалы, введем факторпространство
(замкнутые формы)/(дифференциалы) = Нк(М, К).
Размерность пространства Шк(М, К) называется А:-мерным числом Бетти
многообразия М; оно обозначается Ьк(М) или просто Ьк- Например, если М -
n-мерный тор Тп, то Ък = Ск (см., например, [54]). По теореме
двойственности Пуанкаре Ьк = Ьп^к- Для связных многообразий fc0 = Ьп = 1.
Эйлерова характеристика выражается через числа Бетти по формуле y(iVZ) =
)Г (- 1 )7 Ь,.
]>0
136
§ 2. Доказательство теорем о неинтегрируемости
Теорема 4. Предположим, что конфигурационное пространство натуральной
системы с п степенями свободы является связным аналитическим
многообразием Мп, а функция Гамиль-гона Н = Т + V -
аналитической функцией в фазовом пространстве. Если эта
систем а имеет п независимых аналитических
интегралов, то
bk(Mn) <: Ci . (1.2)
Если дополнительно bi( .\In) = п, то в (1.2) неравенства заменяются
равенствами.
При А: = 1 (1.2) дает неравенство
bi ^ п ; (1.3)
оно было указано автором в качестве гипотезы в книге [12]. Для двумерных
ориентированных поверхностей bi = 2х, где х-род поверхности. В этом
случае (1.3) совпадает с неравенством х ^ 1, поэтому теорема 4 содержит
как частный случай теорему 2.
В работах [155, 156] указаны также топологические препятствия к
интегрируемости в терминах фундаментальной группы многообразия М": она не
должна содержать коммутативных подгрупп конечного индекса.
В теореме 4 предположение об аналитичности можно ослабить. Интегрируемую
гамильтонову систему на энергетической поверхности Sh - {Н - h} назовем
геометрически простой, если:
1) в Sh содержится такое замкнутое инвариантное (относительно фазового
потока glH) множество Г, что Е/, \ Г всюду плотно в S/, и имеет конечное
число компонент связности, каждая из которых расслоена на 71-мерные торы
над (п - 1)-мерными дисками;
2) для любой точки z С Sh и любой ее окрестности W существует область U С
W, содержащая z и такая, что П(~|(27/ДГ) имеет конечное число компонент
связности.
Если гамильтонова система на поверхности Sh (h > max V) вполне
интегрируема и геометрически проста, то справедливы неравенства (1.2).
Аналитически интегрируемые системы геометрически просты [155].
§ 2. Доказательство теорем о неинтегрируемости
1. Сначала докажем теорему 3 из § 1, из которой, в свою очередь,
вытекают теоремы 1 и 2. Доказательство использует некоторые факты из
алгебраической топологии, с которыми можно ознакомиться, например, по
книгам [54, 58].
Пусть ds - метрика Мопертюи на М. Зафиксируем точку q € Е М,
удовлетворяющую условию б). Поскольку (M,ds)-гладкое двумерное компактное
ориентируемое риманово многообразие, не
137
Глава III. Препятствия к полной интегрируемости
гомеоморфное сфере, то, по теореме Е. В. Гайдукова [40], для любого
нетривиального класса свободно гомотопных путей на М существуют
геодезические полутраектории Г, выходящие из точки q и асимптотически
приближающиеся к некоторой замкнутой геодезической из данного
гомотопического класса. Геодезическая Г сама может быть замкнутой кривой.
Геодезические полутраектории Г будем называть в дальнейшем Гч-
геодезическими.
Предположим, что гамильтонова система имеет на Г/, бесконечно
дифференцируемый первый интеграл F(gpp). Любой его некритический уровень
есть объединение некоторого числа двумерных инвариантных торов.
Рассмотрим в кокасательной плоскости Т*М окружность S1', состоящую из
векторов р, для которых Т(р, Я) rV{q) = h. Каждому вектору р ? 6',]
соответствует единственное движение q(t),p(t) с начальными условиями
</(0) = q, р(0) = = р; на этом движениц)функция F постоянна. Импульс р
назовем критическим, если критическим является соответствующее значение
интеграла F. Покажем, что существует бесконечно много различных
критических импульсов. Если число критических импульсов конечно, то
окружность S* так разбивается на конечное число открытых секторов Дь ...,
