Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
степень полиномиального интеграла четная, то из второго утверждения
теоремы легко выводится, что V является 27Г-периодической функцией от
переменной x + at (a = = const). В этом случае уравнение (3.1) допускает
обобщенный интеграл энергии, степень которого равна двум (см. п. 1).
Пока остается неясным, справедливо ли следствие 3 для полиномиальных
потенциалов (3.7) общего вида (ср. с § 5 гл. IV).
4. Перейдем" к доказательству теоремы 1. Если V - тригонометрический
многочлен по переменной х, то из соотношений (3.4) по индукции легко
показать, что функции ап_2,..., ах, ао также являются тригонометрическими
многочленами, причем
Разлагая левые и правые части соотношений (3.4) в ряды Фурье и
приравнивая коэффициенты при старших гармониках, получим цепочку
уравнений для отыскания Ап_г, А"-з, • • • :
Здесь точка над буквой означает дифференцирование по ?. При выводе
уравнений (3.8) предполагалось m ф 0.
а"_2 = Ап-2 ехр(- imx) + ... + А"_2 ехр( imx), а"_з = з ехр(- imx) + ...
+ An-3 ехр( imx), an-4 = А"_4 ехр(-2imx) + ... + Ап_4 ехр(2гтт), а"_5 =
А"_5ехр(-2imx) + ... + Ап_5ехр(2гта;),
А"-2 - nvm,
Ап-2 + imAn-3 = (n - lJimaJ.jDm, 2An-4 = (^ 2)An_2Tm, An~4 2imAns (71
3)imAn-^vm,
(3.8.n - 2) (3.8.n - 3) (3.8.n - 4) (3.8.n - 5)
383
Глава VIII. Полиномиальные интегралы
Рассмотрим сначала случай нечетного п. Тогда подсистема уравнений (3.8.П
- 2), (3.8.п - 4), ..(3.8.1) замкнута:
А-п-2
2Лп^4 (71 2)j4n_2^)mi
З.Ап-_б 4)т1п_-4'^т,
= ЗЛ3тт,
откуда
(^)!Л1 = п!!(тт)("-1)/2. (3.9)
Последнее уравнение системы (3.4)
(ao)t = aiVx (3.10)
влечет imA\vm = 0. По предположению т ф 0, поэтому с учетом
соотношения (3.9) имеем равенство vm = 0. Применяя индукцию
(уменьшая т), получаем, что V вообще не зависит от х.
Рассмотрим теперь случай четного п (п ^ 2). Сначала из уравнений (3.8.п -
2), (3.8.п - 4), ..., (3.8.0) найдем
АП-2 ~
2Ап-4 ~ (п 2)An^2Vm,
1Ап-21 - (^ ^ 4" 2)ДП-l+2'Vm.',
(п/2)Л0 = 2Л2Т1П,
откуда
. п(п - 2)... (п - I + 2) . .
= ------------------------Hvm)1, п/2. (3.11)
Для отыскания Л"_3, Л"_5,... используем уравнения (3.8.п - 3), (3.8.п -
5), ... :
Ап-з = (п - 1 )a°n_1vm - An-2/im,
2 An-5 - (^ 3)Лп_3тт An-i/im,
^Ai = ЗЛ3г>т - A2/im.
384
§ 4- Системы с экспоненциальным взаимодействием
Из этих уравнений, с учетом соотношений (3.11), получаем
(^У.А, = (п- l)!!a°n_1K)('l-2)/2 + imv$2-2vm, (3.12)
где F - положительное число (зависящее лишь от п).
При четном п из уравнения (3.10) вытекает соотношение
Л0 = imAiVm. (3.13)
Полагая в (3.12) I = п/2, получаем
п!!
"и (п/2)!!' ^3'14)
Из соотношений (3.12)-(3.14) можно получить для vm уравнение
G(n)vm = гта0п_хит) (3.15)
где G(-), равно как и F, принимает вещественные значения, и G > > 0. Из
линейного уравнения (3.15) вытекает искомая формула vm - с cxp(i/3t), (i
= та°п , ,/G(n). Попутно установлено, что /3 линейно зависит от параметра
а(r) . Остается доказать, что G(n) = п. Для этого выполним подстановку х -^
х - (о,° \/n)t. В результате получим уравнение вида (3.1) с потенциалом
V*(x,t) = V{x-(a°n_l/n)t,t), (3.16)
допускающее интеграл (3.3), в котором ап-1 = 0. Функция V* -
тригонометрический многочлен по ж, причем, согласно (3.15), коэффициент
при старшей гармонике равен некоторому комплексному числу с. Из формулы
(3.16) тогда следует, что старший коэффициент Фурье многочлена V равен
cexp{ima°n_y/n)t. Следовательно, G(n) = п.
Теорема доказана.
§ 4. Полиномиальные интегралы гамильтоновых систем с экспоненциальным
взаимодействием
1. Пусть W, W*-двойственные n-мерные линейные пространства над полем
вещественных чисел. Их элементы будем обозначать соответственно через х,
у. Пусть (у,х)- значение ковектора у на векторе х. Рассмотрим функцию V :
W -* К, определенную формулой
т
V(x) = '^2vkexp(ak,x), (4.1)
t=i
385
Глава VIII. 'Полиномиальные интегралы
где Vk -отличнт'е от нуля вещественные числа, ai,...,am- ненулевые
векторы из VT*; функция V играет роль потенциальной энергии
экспоненциального взаимодействия. Набор векторов аь ..., ат - "спектр"
суммы экспонент (4.1) - обозначим символом Д. Пусть ( , )-скалярное
произведение в пространстве W*. Метрика ( , ) позволяет отождествить
двойственные пространства W и W*, точнее, существует такой линейный
изоморфизм А : W* -> W, что (у, х) = (у,А~1х) при всех х € W, у € W*.
Зная метрику ( , ) и потенциал V, можно записать уравнения движения
"системы с экспоненциальным взаимодействием" (VT, ( , ), V):
х = Ау, у = - ]Г[г>*ехр(аьа:)]а*- (4.2)
к
Пусть ei,...,e"; е[,...,е*- сопряженные базисы в W и W*: (е*, Cj) = 6ij
(6ij-символ Кронекера). Положим х = и
у - ^2yie*. В координатах xi,...,xn, У\,--.,уп на фазовом пространстве W
х W* уравнения (4.2) можно представить в виде канонических уравнений
Гамильтона
±i = дН/дуи у{ = -дН/дх{, 1 ^ г ^ п, (4-3)
с гамильтонианом Н = Т + V, где Т = (у, у)/2 - кинетическая энергия
системы.
Пусть D: W -> W - невырожденный линейный оператор, а D*:W* -> W*-
оператор, сопряженный с D. Отображение W х х W* -> W х W*, задаваемое
