Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
систем, у которых потенциалы являются тригонометрическими многочленами,
аналогичны условиям для случая конечных сумм вещественных экспонент (это
соотношения (5.3) гл. IV и (4.7) гл. VIII); эта аналогия, разумеется, не
случайна. Ее происхождение обсуждается в § 5.
§ 5. Возмущения гамильтоновых систем с некомпактными инвариантными
поверхностями
1. Геометрический вариант теоремы Лиувилля о полной интегрируемости
(см. теорему 1 § 4 гл. II) утверждает, что некритические совместные
поверхности уровня п коммутирующих интегралов гамильтоновой системы с п
степенями свободы диффе-оморфны Tfc х Rn-fc (0 ^ к ^ п), причем в
некоторых переменных Хк mod 27Г, ад+i,... ,хп уравнения Гамильтона имеют
совсем простой вид: = <д" = const. В компактном случае
(к = п)
имеется достаточно подробная теория поведения гамильтоновых систем, мало
отличающихся от интегрируемых. Ниже, следуя работе [99], обсуждаются
некоторые аналитические аспекты этой теории для некомпактного случая и ее
связь с задачей о существовании полного набора независимых интегралов.
Пусть М" = Т* х - конфигурационное пространство обратимой гамильтоновой
системы с функцией Гамильтона Но + еН\, где Hq = j У] aijt/tijj-
положительно определенная квадратичная форма с постоянными
коэффициентами, Н\ -однозначная функция на Мп = {ж}, г - малый параметр.
Введем в R" два скалярных произведения:
(У rl) = Y1 "й'б'Ь'' & ^ ^Пг'
С учетом этих обозначений Но = (у, у)/2.
Следуя известной схеме классической теории возмущений, попытаемся найти
зависящее от е каноническое преобразование х,у -* u,v вида у = dS/dx, и =
dS/dv\ S = S0(v,x) + eSi(v, х) + ..., переводящее гамильтониан Но + ?Н\ в
функцию Ko(v) + eKi(v) + ...
398
§ 5. Возмущения гамильтоновых систем
Положим So = (v,x)\ тогда при е - 0 будем иметь тождественное
преобразование. Производящая функция S должна удовлетворять уравнению
Гамильтона в частных производных Ho(dS/dx) + + еН\{х) = Ko{v) + eK\{v) +
... Отсюда получаем бесконечную цепочку уравнений для последовательного
определения S\, S2,... и KhK2,... :
v,
дх
dsm\ 1 v- /osB as,
*/4 s:
p+q=m
(5.1)
В компактном случае (к = п) обычно предполагается, что средние значения
функций Sm (т ^ 1) на Т" равны нулю. Это позволяет (на формальном уровне)
из системы (5.1) однозначно найти Si, S2,.. ¦ и Ki,K2,... (см. § 10 гл.
II). Возникающие при этом малые знаменатели препятствуют сходимости
формальных рядов.
Каждое из уравнений (5.1) можно записать в виде
(5.2)
где w - постоянное векторное поле на Мп (его компоненты линейно
выражаются через г>,-), g - известная, а / - неизвестная функции.
Имеет место простое
Предложение 1. Если интегральные кривые векторного поля w не ограничены
на Мп, то уравнение (5.2) разрешимо в целом.
Действительно, функция / находится интегрированием g по траекториям поля
w, при этом / однозначно определяется своими значениями в (п- 1)-мерном
сечении Xj = const, где х} -любая из линейных координат в М", монотонно
меняющаяся со временем. Каждая траектория поля w пересекает это сечение
лишь в одной точке.
Будем теперь рассматривать решение уравнения (5.2) как функцию от I и !).
В общем случае оно имеет очевидную сингулярность в точке v = 0. Стоит
отметить, что при М ф Кп уравнение (5.2) не имеет решения, аналитического
поив области Кп \ {0}; причина состоит в том, что на некоторых
поверхностях М поле w имеет замкнутые траектории.
399
Глава VIII. Полиномиальные интегралы
2. Для гамильтоновых систем с экспоненциальным взаимодействием цепочка
уравнений (бЛ^легко решается в явном виде. Положим Н\ = ha ехр(а, х);
суммирование идет по конечному множеству векторов а € Д. Мы считаем, что
а ф 0: постоянные слагаемые в этой формуле можно отнести к функции К\.
Будем искать решение в виде суммы экспонент S\ = 22 S?ехр(а,ж). Тогда
очевидно, что
S?= -ha/{v,a). (5.3)
Коэффициенты суммы 51 не определены на "резонансных" гиперплоскостях
(v,a) (а € А), объединение которых обозначим Bt и назовем резонансным
множеством первого порядка.
Уравнение для имеет тот же вид, что и уравнение для Si. Функция
1/м.мл
2 \ дх ' дх
есть конечная сумма экспонент, однако ее коэффициенты зависят от новых
импульсов. Будем искать в виде суммы ]Г) S,J exp(т, х). Слагаемые в
(5.4), не зависящие от ж, отнесем к функции Кг- Из второго уравнения
системы (5.1) с учетом соотношений (5.3) найдем, что
(сг, 6)h°h5
2(т,
от_____________L_ V h
2 n'v'T) (v,cr)(v,6)'
а+6=т
Резонансным множеством второго порядка Вг назовем множество всех тех v €
К", для которых (v, т) = 0 (т ф 0) и (v, r)5J ф 0.
Уравнения для S3,S4,... решаются последовательно по той же схеме. Положим
sm = J2 STm{v) ехр(т, х), ф 0. (5.5)
Коэффициенты S,n находятся по рекуррентной формуле
' "2ih, Е <5-6>
' ' ' p+q=m
Эта формула - следствие системы (5.1) и формулы (5.5).
Введем резонансное множество т-го порядка Вт; оно состоит из всех v € Кп,
для которых 1) (v, т) = 0, т ф 0; 2) (v, t)S^(v) ф 0.
(X)
Положим В= (J В^ и назовем это множество резонансным
