Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
интегрируемой по Биркгофу, изоморфна одной из схем, изображенных на рис.
38.
:4..'
f\i
(c)До
1 1
о о
\1 1 1 \1 О-0---0-о
к* ь
6
11111 о-о-р-о-о
of
I
Of
111 111 1 0-0-0-о-0-0-о
о1
11111111 о-о-о-о-о-о-о-о
01
1112 2 О-О-0=0-о
112 2 2 О-0=0-о-о
ж
02
\2
о
U..UA
О 2
N
о 1
26:
*
хК.
.!>¦
* *
оч. о
||\* 2 2 2А О 1 г о
Ц
Рис. 38
Следствие. Спектр неприводимой гамильтоновой системы сп ^ 2 степенями
свободы, интегрируемой по Биркгофу, содержит не более п + 3 различных
векторов.
Оценка card Д ^ п + 3 неулучшаема; это показывает пример системы с
функцией Гамильтона (4.5).
Для доказательства теоремы 2 нам понадобится
391
Глава VIII. Полиномиальные интегралы
Лемма 1. Пусть векторы а\ € Д попарно линейно независимы, и ^2 х\а\ = 0
при некоторых вещественных х\ ф 0. Если a - вектор из А, линейно
независимый с каждым ад, то (а, ад) = О.
Доказательство. Равенство Y2 х\а\ - 0 (жл Ф 0) можно переписать в
следующем виде: = Ylzvav (У^ > 0, zv > 0).
Положим b = и вычислим (Ь, Ь) = ^^(а^а,). Векто-
ры ад попарно линейно независимы, следовательно, по теореме 1, (Ь,Ь) ^ 0,
т. е. Ъ = 0. Так как 0 = (а, Ь) = ^УЛа1аф) (г/м > 0) и (а,аф) ^ 0
(теорема 1), то, очевидно, (а,аф) = 0. Аналогично (а,а") = 0, что и
требовалось доказать.
Предложение 3. Множество А содержит не более n + 1 попарно линейно
независимых векторов, причем любые п из них линейно независимы.
Доказательство. Пусть Д имеет п + 1 попарно независимых векторов ад,...,
an+i. Так как dim IV' - п, то
П+-1
У" ж,а, = 0, ^ ж? ф 0.
t=i
Обозначим через А! множество векторов из Д, линейно зависимых с теми
ад,..., ап+д, для которых ж, ф 0. Согласно лемме 1, множества Д' и Д \ А!
взаимно ортогональны. По предположению система неприводима, поэтому Д =
А! и все ж, - ненулевые. В частности, каждые п векторов из совокупности
ад,..., ап+д линейно независимы. Предложение доказано.
В n-мерном евклидовом пространстве для тех систем из п + -(- 1 вектора, в
которых каждая собственная подсистема линейно независима и выполнено
условие (4.7), имеется полная классификация [202] (см. также [177]).
Такие системы являются системами простых корней градуированных алгебр
Каца - Муди. Полные диаграммы Дынкина а)-л), перечисленные в теореме 2,
получены из известных диаграмм систем корней алгебр Каца - Муди с учетом
возможности существования в спектре интегрируемой системы сонаправленных
векторов (относящиеся сюда простые рассуждения опущены). Пусть теперь Д
содержит п линейно независимых максимальных векторов, удовлетворяющих
условию (4.7). Такая система не будет полной в смысле нашего определения:
к этим п векторам можно так добавить еще один, чтобы сохранилось условие
(4.7) и любая подсистема из п векторов была линейно независима. Это
вытекает, например, из того факта, что диаграмма Дынкина системы простых
корней получается из диаграммы системы корней некоторой алгебры Каца -
Муди отбрасыванием одной вершины [202].
392
§ 4. Системы с экспоненциальным взаимодействием
4. Рассмотрим теперь вопрос об интегрируемости по Биркгофу
гамильтоновых систем, перечисленных в теореме 2. В случаях
а)-ас) полная интегрируемость установлена в работах [180, 176].
Гамильтониан системы со схемой Дынкина и) можно всегда привести к виду
(4.5). Эта система проинтегрирована в работе [231].
Графу к) отвечает гамильтонова система с двумя степенями свободы и
функцией Гамильтона
Н = {у\ + yl)/2 + где! + v2e2 + v3e3 + v4c4, ei=expxi, е2 = ехрх2,
е3 = еХр(-а?! - х2), е4 = exp(-(Tj + х2)/2).
При всех значениях коэффициентов гд,..., v4 она имеет дополнительный
интеграл четвертой степени по импульсам:
F = У\Уг + 1v2y\e2 + 2v3yxy2e3 + 2v4yxy2e4 + 2viyjcx +
+ 2v2v3e2e3 + 2vxv3exe3 + 4vxv2exe2 + vjej + 2v3v4e3e4 + v4e4.
Это - новая интегрируемая цепочка. При г>3 = 0 или v4 = 0 получаем
интегрируемые цепочки из работ [180, 176]. Ясно, что старшие однородные
формы функций Н и F независимы.
Функция Гамильтона со схемой Дынкина з) в подходящих канонических
переменных имеет вид
^ П 71- 1
Н - л X] У* + ^ехр(т, - t,+i) + ехр(-ж1 - х2) +
Я=1 .4 - 1
+ апехржп + /Зпехр(2жп); a",/3"Gi, п ^ 4. (4.9)
При а" = 0 или (Зп = 0 полная интегрируемость этой системы установлена в
работах [176, 180]: если Дп = 0, это-система типа Вп (по классификации
[180]), а при ап = 0 получаем систему типа (по классификации [176]).
Остается невыясненным, интегрируемы ли уравнения Гамильтона с
гамильтонианом (4.9) в общем случае (а" ф 0 и ф 0); по-видимому, это
верно.
Вопрос об интегрируемости гамильтоновой системы с графом л) оказался
более сложным. В работах [176, 180] проинтегрированы га- 113 3 3 7
мильтоновы системы с двумя сте- о- ОвО о - о>о
пенями свободы, ориентированный
граф Кокстера которых имеет ука- Рис. 39
занный на рис. 39 вид.
Они получаются из графа л) отбрасыванием двух вершин. В [102] рассмотрена
задача об интегрируемости по Биркгофу сис-
393
Глава VIII. Полиномиальные интегралы
темы с гамильтонианом
