Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
(4.10)
Ее граф Кокстера получается из графа л) отбрасыванием одной вершины. Этот
случай отличается от общего тем, что все линейно независимые векторы из Д
удовлетворяют условию (4.7). Если все коэффициенты v, отличны от нуля, то
уравнения Гамильтона с гамильтонианом (4.10) не имеют дополнительного
интеграла, степень которого не превышает шести; число 6 выбрано не
случайно - это ранг группы Кокстера, порожденной отражениями относительно
векторов из спектра Д. Отметим, что в остальных интегрируемых системах с
двумя степенями свободы степень дополнительного полиномиального интеграла
равна именно рангу соответствующей группы Кокстера.
По-видимому, система с гамильтонианом (4.10) - и тем более система с
графом л) - не имеет дополнительного аналитического интеграла. Это
предположение подтверждается численными расчетами, выполненными А. В.
Борисовым для системы с гамильтонианом (4.10) с дополнительным слагаемым
г^ехржг, в котором v\ = ... = Т5 = 1. Отметим, что интегрируемость
замкнутой цепочки Тоды из трех частиц впервые была подмечена в результате
численных расчетов [195].
Стоит также подчеркнуть, что, согласно результатам § 4 гл. VII,
гамильтонова система с графом л) алгебраически интегрируема лишь при
соблюдении условий Т3 = v$ = 0 или т4 = = 0.
5. Перейдем к доказательству теоремы 1. Пусть ei,...,en и el,..., е*-
сопряженные базисы в W и W*. Введем отношение порядка в W*, которое
обозначим символом -<: пусть <т = ^ <т,е* и 6 = ^2 ; запись а < 6
означает, что для наименьшего индекса
к, при котором <тк ф 6к, выполнено неравенство <т* < <5*,-. Ясно, что -<
является обычным отношением лексикографического порядка в W* в базисе
е\,..., е*. Это отношение естественным образом индуцирует отношение
порядка в W. Пусть запись <т ^ <5 означает а <6 или сг = 6.
Доказательство теоремы 1 основано на применении следующего утверждения,
представляющего самостоятельный интерес.
Теорема 3. Пусть а-максимальный элемент в А относительно отношения
порядка -<. Предположим, что найдется вектор (3 Е А, удовлетворяющий
следующим условиям:
(1) 3 У 0 и 3 линейно независим с а;
(2) из равенства sa + /3 = ту + ... + т"+1, где ту ? А, вытекает,
Н = (yl + 2/|)/2 + vi exp xi +
+ V2ехр
х\
+ сзехр^^а,^ + щ ехр(\/3;Е2).
394
§ 4- Системы с экспоненциальным взаим,одействием
что т\ = 13 и Tj-a(jj4 k);
(3) т(а, а) + 2(а,/3) ^ О при всех целых т ^ 0.
Тогда гамильтонова система (2) неинтегрируема по Биркгофу.
Сделаем некоторые замечания.
1. Для выполнения условия (2) теоремы 3 достаточно потребовать, чтобы /3
был максимальным линейно независимым с a вектором из Д.
2. Теорема 3 справедлива и для псевдоевклидовой метрики ( , ).
Теорема 3 будет доказана в § 5; сейчас мы выведем из нее теорему 1..
На векторном пространстве W* можно ввести естественную аффинную
структуру, поэтому Д можно рассматривать как конечный набор точек
аффинного пространства. Через ?(Д) обозначим выпуклую оболочку множества
Д. Ясно, что ?(Д) - выпуклый многогранник в n-мерном аффинном
пространстве. Необходимые для дальнейшего сведения из теории выпуклых тел
можно найти, например, в [17].
Лемма 2. Пусть а и /3 -две соседние (соединенные ребром) вершины
многогранника ?(Д), линейно независимые как векторы из W*. Если
гамильтонова система интегрируема, то при некотором целом m ^ 0 выполнено
равенство m(a, a) + 2(a, /3) = 0.
Доказательство. Пусть у - отрезок, соединяющий точки а и (3. Ясно, что у
- ребро выпуклого многогранника ?(Д).
Векторы а и (3 линейно независимы как элементы пространства W*, и ?(Д) -
выпуклый многогранник, поэтому существует гиперплоскость Г, не проходящая
через точку О € W* и такая, что пересечение Г П?(Д) совпадает с ребром у.
При этом гиперплоскость Г может отделять или не отделять многогранник
?(Д) от точки О G W*. В первом случае выберем в W* следующий базис: е\ =
а, с*2 - вектор с началом в точке /3 и концом в точке а, ез,...,е*-
векторы в гиперплоскости Г, линейно независимые с e?. Во втором случае в
качестве базиса выберем набор векторов
(-Cl), ?3, •.., е".
Ясно, что в выбранном базисе вектор а является максимальным элементом
множества Д. Пусть а' - наибольший элемент в Д \ {а}. Очевидно, что а',
как точка аффинного пространства, является ближайшей к а точкой из
множества (Д \ {а}) П у. Тогда угол между векторами а и а' не меньше
7г/2: в противном случае а и а' удовлетворяют условиям (1)-(3) теоремы 3,
и, следовательно, рассматриваемая гамильтонова система неинтегрируема.
Пусть /3'-ближайшая к вершине /3 точка из множества (Д\{/3}) П П7;
аналогично доказывается, что угол между векторами /3 и /3/ не
395
Глава VIII. Полиномиальные интегралы
меньше 7г/2. Векторы а и [3 по предположению независимы, поэтому угол
между ними строго меньше 7Г. Следовательно, точка а' совпадает с вершиной
/3, a fi' - с вершиной а. .Тем самым векторы а и (3 удовлетворяют
условиям (l) и (2) теоремы 3. Если будет выполнено условие (3), то
система окажется неинтегрируемой вопреки предположению. Лемма доказана.
