Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
Лемма 3. Пусть исходная гамильтонова система интегрируема по Биркгофу.
Тогда
1) все точки А лежат на лучах с началом в точке О Е W*, проходящих через
вершины выпуклого многогранника ?(Д);
2) углы между этими лучами не меньше п/2.
Доказательство. Пусть 6 - точка из Д. Тогда найдется такая вершина сг
многогранника ?(Д), что угол между сг и 6 острый - в противном случае все
вершины лежат в полупространстве П$ = {у Е W* : (у,6) < 0}.
Следовательно, ?(Д) С П$, поэтому 6 ? ?(А). Получаем противоречие. Будем
считать, что 6 не лежит на луче, задаваемом вектором сг, т. е. угол между
сг и 6 не равен нулю. Можно считать также, что <т имеет максимальную
длину среди всех векторов Д, сонаправленных с сг.
Пусть Г - гиперплоскость, проходящая через точку сг (как точку аффинного
пространства) ортогонально вектору сг. Через П обозначим замкнутое
полупространство с границей Г, не содерг жащее точки О. Покажем, что ?(А)
имеет с П лишь одну общую точку сг. Действительно, в противном случае
имеется еще одна такая точка т ф сг. Но тогда найдется точка р- вершина
?(А), соединенная с сг ребром и лежащая в П.
Докажем это утверждение от противного. Ясно, что ?(А) = - Mi U М2, где Mi
-выпуклая оболочка вершин ?(А), кроме сг, а М2 - выпуклая оболочка ребер,
выходящих из сг. Рассмотрим отрезок 7, соединяющий сг и т. Пусть
указанной точки р не существует. Тогда 7 П М2 - П П М2 - сг, множество 7
П М\ замкнуто и не содержит сг, а это противоречит соотношению 7 С (Mi
UM2). Итак, точка р существует. Угол между сг и р - острый и отличен от
нуля. Поэтому, согласно лемме 2, система неинтегрируема.
Итак, ?(А) П П = {сг}. Рассмотрим в W* базис {е}}: = сг, а
е*2,..., е* - независимые векторы в П. Пусть -< - соответствующее
отношение лексикографического порядка. Очевидно, что сг-максимальный
элемент Д и 6 >- 0. Пусть 6' - максимальный линейно независимый с сг
элемент множества Д. Так как 6' 6, то (сг, 6') >
> 0, и поэтому угол между сг и 6' также острый. По замечанию 1 к теореме
3 система неинтегрируема. Лемма доказана.
Теперь уже несложно доказать теорему 1. Согласно утверждению леммы 3, для
любых двух линейно независимых векторов сг и
396
§ 4- Системы с экспоненциальным взаимодействием
т из Д имеем (сг, т) ^ 0. Пусть а, /3 - линейно независимые векторы из Д,
причем вектор а является максимальным. Выберем в W* базис {е-}: е\ =
а, е*2 = /3, векторы ej,... ,е*п ортогональны а и
/3. Пусть т = T'ei ? А- Покажем, что tj ^ 0, если т и а линейно
независимы. Действительно,
(т,а) = n(ej,e*) + т2(е*2,с\) ^ 0,
(т,Р) = п(е\,е*2) + т2(е2,е2) ^ 0.
При т\ > 0 из первого неравенства получаем т2 > 0. Следовательно,
ti(t,ej) -(- т2(т,еJ) ^ 0. С другой стороны, последнее неравенство можно
записать в виде T2(eJ,eJ) + 2т\т2(е\,е'^) + 'т2(е2,е2) $ 0; это, однако,
противоречит свойству положительной определенности матрицы Грама
||(е*,е*)|| (i,j = 1,2).
Таким образом, отношение порядка -<, соответствующее базису {е,-},
таково, что а - наибольший элемент множества Д и (3 >~ 0. Более того,
если г ^ /3, то г сонаправлен с вектором а или (3. Из этих свойств
векторов а и f3 вытекает справедливость условий
(1) и (2) теоремы 3. Таким образом, если гамильтонова система
интегрируема, то - по теореме 3 - при некотором целом m ^ 0 выполнено
равенство
т(а, а) + 2(а,/3) = 0. (4-11)
Пусть теперь /3 - максимальный по длине из сонаправленньгх с а векторов
Д. При некотором целом к ^ 0 получаем аналогичное соотношение
к(р,р) + 2(р,а)=0. (4.12)
Из (4.11) и (4.12) заключаем, что угол <р между векторами акр равен
одному из следующих: 2-к/З, 37г/4, 5тг/6; при этом, если <р = = 27г/3, то
|а| - |/31; если <р = Зтг/4, то |а| = \/2\р\ или |/3| =
если, наконец, <р = 57г/6, то |а| = л/3|Д| или |/3| = л/3|"|
(СР- со
следствием 2 теоремы 1).
Рассмотрим теперь случай, когда имеется вектор р' € Д, сона-правленный с
/3, причем \Р'\ < |/3|. При некотором целом / ^ 0 по доказанному выше
должно выполняться соотношение
1(а,а) + 2(а,р') = 0. (4.13)
Пусть <р = 27г/3. Из (4.13) получаем соотношение \Р'\ = 1\а\. В этом
случае |а| = \Р\ > |/3'| и I ^ 1, поэтому приходим к противоречию. Итак,
если <р = 2п/3, то вектор р' не существует.
Пусть теперь = 37г/4. Из (4.13) получаем равенство \р'\ =
= 1\а\/\/2. Если |а| = \/2|/3|, то |/3'| = /|/3|. Так как / ^ 1, то
это
397
Глава VIII. Полиномиальные интегралы
равенство противоречит исходному предположению |/3'| < |/3|. Если же |/31
= л/2|а|, то |/3'| = /|/3|/2. Так как |/3'| < |/3|, то I - 1.
Следовательно, при <р = 37г/4 имеем /3' = /3/2.
Рассмотрим последний случай: <р = 57г/6. Равенство (4.13) дает |/3'| =
1\а\/\/3. Если |а| = л/3|/3|, то |/3'| = /|/3|. Ввиду неравенства I ^ 1
этот случай невозможен. Пусть теперь \(3\ = тогда
|/3'| = /|/3|/3. Так как |/3'| < |/3|, то либо / = 1, либо I = 2. Итак,
если у? = 57г/6, то /3' может быть одним из двух векторов, /3/3 или
2/3/3. Теорема 1 доказана полностью.
Читатель, вероятно, уже заметил, что условия интегрируемости обратимых
