Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
полиномиальных интегралов.
Следствие 2. Если система интегрируема по Биркгофу, то:
1) угол между любыми двумя векторами из А равен одному из следующих:
0, тг/2, 2ж/3, Зж/А, Зж/6, ж\
(4.7)
388
§ 4- Системы с экспоненциальным взаимодействием
2) пусть а, а' € Д и вектор а -максимальный; если угол у? между а и а'
равен 27г/3, то |а| = |а'|; если у? - Зж/А, то |а| = \/2\а!\ или |а| =
\а'\/\/2; если у? = 5ж/6, то |а| есть \/3|а'|, 2|а'|/>/3 или \а'\/у/3.
Действительно, угол между векторами из Д совпадает с углом между двумя
соответствующими максимальными векторами. Пусть а,, а, -максимальные
векторы, у?- величина угла между ними. Согласно теореме 1, имеем
2 (а,-,аЛ "
т~~ V е -Z+- 4.8
Используя (4.7) и (4.8), получаем, что 4cos2y? - -4(щ,ау) _
(fl,, a,*)(fly, ciy)
= I - целое число. Поскольку / 4, то cosy? может принимать
одно из следующих значений: 0, ±1/2, ±>/2/2, ±>/3/2, ±1. Первое
утверждение следствия доказано. Вывод второго содержится в п. 5.
Ниже приводится классификация интегрируемых по Биркгофу гамильтоновых
систем, основанная на теореме 1.
3. Пусть W* есть прямая сумма ортогональных подпространств W\,..., W*
и спектр Д лежит в их объединении (J IV*. Через W\,..., Wp обозначим
образы ,..., W* при отображении А : W* -* W. Легко понять, что система
(4.2) распадается на р замкнутых подсистем с фазовыми пространствами И7,
х И7/ С С W х W*. Пусть Я, - ограничение функции Г амильтона Н на W( х
И7*. Тогда Н = Hi. Если базисные векторы С\,... ,сп принадлежат
объединению W\ U ... U Wp, то в соответствующих канонических переменных
xi,...,xn, у\,...,у" уравнения (4.3) раз-, биваются на р замкнутых
гамильтоновых систем с функциями Гамильтона Я, (т. е. происходит
частичное разделение переменных); при этом говорят, что исходная
гамильтонова система есть прямая сумма своих подсистем. Если такое
разложение (в сумму нетривиальных подпространств И7,) невозможно, назовем
гамильтонову систему неприводимой. Имеет место очевидное
Предложение 1. Каждая гамильтонова система (4.2) есть прямая сум.ма своих
неприводимых подсистем.
Пусть а и (3- векторы из Д, у? -угол между ними. Если гамильтонова
система интегрируема по Биркгофу, то, по следствию 2 теоремы 1, величина
4 cos2 у? может иметь одно из следующих значений: 0, 1, 2, 3, 4. Это
обстоятельство подсказывает нам ввести в рассмотрение граф Кокстера
интегрируемой по Биркгофу гамильтоновой системы, т. е. граф, вершинами
которого служат векторы из Д, причем вершины а и /3 соединены 4 cos2 у?
реб-
389
Глава VIII. Полиномиальные интегралы
рами. Ясно, что если интегрируемая система неприводима, то ее граф
Кокстера связен и непуст.
При dim W' = 1 множество Д П IV' может быть любым конечным множеством
векторов; это вытекает из факта полной интегрируемости гамильтоновых
систем с одной степенью свободы. Оставляя в стороне эти тривиальные
случаи, будем далее предполагать dim W- > 1.
Итак, рассмотрим строение интегрируемой неприводимой гамильтоновой
системы с n > 1 степенями свободы.
Предложение 2. Любые два линейно зависимых вектора из Д сонаправлены.
Доказательство. Положим Па = {?> € W* : (а, Ь) ^
0}. Пусть а, (3 - линейно зависимые векторы из Д. Если 7 € Д и 7 Ф ка (к
Е К), то, по теореме 1, 7 € Па и 7 € П/j. Если а и (3 направлены в
противоположные стороны, то пересечение Па ПП^ является гиперплоскостью в
W*, ортогональной а и (3. В этом случае вектор 7 ортогонален а и /3, что
противоречит предположению о неприводимости. Предложение доказано.
Интегрируемую систему со спектром Д назовем полной, если не существует
такого ненулевого вектора а Е W*, что множество Д U {а} удовлетворяет
условиям теоремы 1. Спектр каждой интегрируемой по Биркгофу гамильтоновой
системы получается из некоторого полного спектра отбрасыванием части
элементов; при этом уменьшении множества Д связность графа Кокстера не
нарушится, а число вершин не может стать меньше, чем dim W* = п.
Понятно, что граф Кокстера определяет лишь углы между парами векторов из
Д. Для возможности восстановления отношений длин векторов припишем каждой
его вершине коэффициент, пропорциональный квадрату длины (а, а)
соответствующего вектора а € Д. Так доопределенный граф Кокстера назовем
(как принято в теории корневых систем) схемой Дынкина. Не будем различать
схемы Дынкина, отличающиеся лишь положительным коэффициентом
пропорциональности. Этому соглашению можно придать прозрачный
динамический смысл.
Рассмотрим две гамильтоновы системы, у которых векторы из их спектров
отличаются положительным множителем к. Нетрудно проверить, что
подстановка х -> кх, t -> kt переводит уравнения движения (4.2) одной
системы в уравнения движения другой. С помощью следствия 2 из теоремы 1 и
предложения 2 легко показать, что схема Дынкина однозначно (с точностью
до изоморфизма) определяет спектр интегрируемой неприводимой
гамильтоновой системы.
390
§ 4- Системы с экспоненциальным взаимодействием
Теорема 2. Схема Дынкина полной неприводимой гамильтоновой системы,
