Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
степенью свободы; тогда в качестве функции F можно взять функцию
Гамильтона автономной системы.
Рассмотрим теперь нелинейное уравнение колебаний математического маятника
z+(u2+?f(t)) sin z - 0. Покажем, что оно может иметь аналитический
интеграл F(z,z,t), двоякопериодический по t G С, только при тех значениях
параметров w и е, когда интегрируемо линейное уравнение (5.17). Для
доказательства разложим функцию F в сходящийся степенной ряд
? hizkz\ (5.18)
k+l=s
коэффициенты которого Д; - эллиптические функции с периодами 27г и 27гг.
Первая форма разложения (5.18) (для s = m) является, очевидно,
однозначным интегралом линейного уравнения
(5.17). Следовательно, согласно предположению, она должна быть
постоянной. Но тогда следующая форма (s = m + 1) будет интегралом
уравнения (5.17) и потому тоже постоянна, и т. д.
9. С помощью теоремы С. Л. Зиглина удается доказать неинтегрируемость
многих гамильтоновых систем, имеющих важное значение для приложений. X.
Иошида применил этот метод к обратимым гамильтоновым системам с
однородным потенциалом. Функция Гамильтона имеет вид
\y\2/2 + Vk(x), хеГ, уе Мп, (5.19)
где V* - однородная форма степени к, отличной от 0 и ±2. Уравнения
Гамильтона с гамильтонианом (5.19) квазиоднородны: степени
квазиоднородности /, д по переменным у, х равны соответственно к/(к - 2),
2/(к - 2) (см. п. 4 § 3). Это позволяет вычислить
367
Глава VII. Ветвление решений
Показатели Ковалевской разбиваются на пары р,- и р,+п> в сумме дающие / +
д = 2д + 1. Положим Ар,- = р,-+п - р,-. Можно считать, что рп = -1, р2п =
/ + д + 1. Поэтому Арп = (3к - 2)/(к - 2) - рациональное число.
Теорема 2 [238]. Если числа Apt,..., А рп рационально несоизмеримы, то
гамильтонова система с функцией Г амильтона (5.19) не имеет полного
набора независимых интегралов (в количестве п), голоморфных в С2п = {х,
у}.
Укажем последовательность вычисления показателей Ковалевской для решения
(5.20). Сначала решим систему алгебраических уравнений
д
- (c) = су, с= (сь...,сп)т, (5.21)
Вектор с связан с вектором а из (5.20) соотношением а = -[-д(д +
d2V
+ 1)](r)/2с. Положим Г
-(c)
; пусть Ai,..., Ап - собственные
дх2
числа матрицы Г. Тогда пары чисел р,- и р,-+п являются корнями квадратных
уравнений р2 - (2g + 1 )р + g(g + 1)(1 - А,-) = 0, поэтому
Ар,- = [l + 8k\i/(k - 2)2]1/2.
Доказательство теоремы 2 основывается на применении теоремы Зиглина из п.
7. Уравнения Ньютона х - -dV/dx допускают частное решение
а? = сФ(4), (5.22)
где вектор с € Мп определяется соотношениями (5.21), а скалярная функция
Ф удовлетворяет уравнению второго порядка ф+Ф^1 = 0. Достаточно
рассмотреть решения этого уравнения с постоянной интеграла энергии,
равной 1 /Аг:
Ф2 = (2/Аг)(1 -Ф*% (5.23)
Любое решение (5.22) однозначно на своей римановой поверхности
с2 = (2/А)(1 - wk). (5.24)
Уравнения в вариациях для прямолинейного движения (5.22) принимают вид ?
= -Ф(^)*С_2Г^. Переходя к собственным направлениям матрицы Г, получим п
линейных дифференциальных уравнений второго порядка:
& + А,Фfc"2& = 0, 1 <С г ^ п. (5.25)
368
§ 5. Группы монодромии гамильтоновых систем
Среди собственных значений Г имеется число А" = А; - 1. Соответствующее
уравнение системы (5.25) имеет частное решение ?" = = Ф, однозначное на
римановой поверхности (5.24). Поэтому первые п - 1 уравнений (5.25)
составляют приведенную систему уравнений в вариациях. Матрицы из
приведенной группы монодромии имеют вид Т = diag[T(Ai),..., Т'(Л"_1)],
где Т(А,) - (2х2)-матрицы с единичным определителем. Уравнения (5.25)
преобразуются в гипергеометрическое уравнение Гаусса, которое позволяет
вычислить матрицы Т(А,).
Оказывается, на римановой поверхности (5.24) найдутся два замкнутых
цикла, для которых соответствующие матрицы монодромии Т\ и Т2
нерезонансны и не коммутируют. По теореме С. Л. Зиглина эти свойства
влекут неинтегрируемость гамильтоновой системы с гамильтонианом (5.19).
Связь условий нерезонанс-ности со свойствами показателей Ковалевской
вытекает из анализа гипергеометрического уравнения Гаусса (детали см. в
работе [238], где на самом деле доказано более сильное утверждение об
отсутствии в предположениях теоремы 2 дополнительного голоморфного
интеграла, независимого от интеграла энергии).
Применим теорему 2 к гамильтоновым уравнениям Янга - Миллса для
однородного двухкомпонентного поля (см. § 8 гл. I). Функция Гамильтона
имеет вид (5.19), где V - х\х\. Уравнения (5.21) допускают решение с = (1
/\/2,1 /\/2)т; собственные значения матрицы Гессе Г равны -1 и 3.
Следовательно, Api = у/-7 и Лрг = 5. Эти числа рационально несоизмеримы,
поэтому по теореме 2 уравнения Янга-Миллса не допускают нового
голоморфного интеграла. Этот результат получил впервые С. Л. Зиглин в
[64].
Аналогичный результат имеет место и для трехкомпонентной модели Янга -
Миллса, где V = xfx$ + х\х\ + х3х\. Здесь с - = (1/у/2,1/у/2,0 )т, а
числа Др, равны соответственно \/Т7, у/-7, 5. В силу их рациональной
