Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
силового поля. Уравнения Биркгофа (1.7), очевидно, имеют вид (2.1).
Исследуем задачу о существовании полиномиальных по скоростям интегралов с
однозначными коэффициентами, независимых от интеграла энергии
Н = {x,x)/2 + V{x). (2.2)
Положим Ло = \ - j Л(.т) dnx. Матрица Ло, как всякая
(2л)n Jt"
кососимметричная матрица, приводится к виду diag[ai,..., ат, 0,...,0],
где Oj = ^ ||, Aj 6 R. В частности, спектр Ло со-
стоит из чисел ±гЛь ..., ±г'Лт, 0,..., 0. Если det Ло ф 0, то п = 2т.
Введем группу по сложению, состоящую из чисел вида "iAi + + ... + атХт,
ctj € Z; через к обозначим ее ранг, т. е. среди Х\,..., Хт имеется к
чисел, независимых над полем Q.
Теорема 1 [214]. Предположим, что уравнения (2.1) имеют I независимых
полиномиальных интегралов. Тогда I + к ^ п.
Для доказательства теоремы 1 применим метод Пуанкаре и воспользуемся
замечанием работы [66]. Для этого введем новую переменную времени t ->
t/e, где е - параметр. После такой подстановки уравнения (2.1) перейдут в
уравнения
х = еАх - е2 dV/dx, (2.3)
содержащие малый параметр ?. Скорости х перейдут в х/е, поэтому
полиномиальный интеграл уравнений (2.1) перейдет в интеграл уравнений
(2.3), аналитический по е: Fq(x,x)+sFi(x,x) + . .. Функции Fs, очевидно,
периодичны по х с периодом 27г. Функция Fq - первый интеграл
невозмущенной системы i = 0. Следовательно,
тр [ 9F° А ^ f 9Fo Л fdFo Л
~ J I ~q-'x J ~ I ,x J - Стсюда заключаем,
что F0 не зависит от угловых переменных х. Функция F\ удов-
(9F° Л Л ^ (dF Л О V
летворяет уравнению I -jp-,Ax\ + I , х 1=0. Усредняя это
378
§ 3. Системы с полутора степенями свободы
уравнение по Х\,... ,хп, получим = 0. Следовательно,
функция и -> Fo(u) является первым интегралом линейной системы с
постоянными коэффициентами й = Ло и.
Линейной подстановкой эта система приводится к виду
¦&1 - \\U2i U2 - А^Щ, * * ¦ 1 dj2m - l - ^2т - ^т^2т - li
д'2т+\ • • • д,п 0.
Полагая щ = pi sin v?i, и2 = р\ cos^i,..., u2m~i = pmsin<pm, u2m =
= Pm COS lfim, получим
Ф\ Ai, * ¦ ¦ 5 Фт ~ .
_ • _ • _ _ • _ n (2-4)
Pi • • * Pm ^2m-f 1 * * *
Функция F0 - интеграл этих уравнений, 27г-периодический по <Pi,... ,ipm-
Если числа Aj,...,Am рационально несоизмеримы, то Fq не зависит от
ipi,... ,<рт. Но тогда система (2.4) может иметь самое большое п - т
независимых интегралов. В общем случае функция F0 не содержит к
независимых целочисленных линейных комбинаций угловых переменных ф^,...
,<рт. Следовательно, система (2.4) имеет не более п - к независимых
интегралов, что и требовалось доказать.
При п = 2 теорему 1 можно уточнить. Справедлива
Теорема 2. Пусть п = 2 и Ло ф 0. Тогда система (2.1) не имеет
независимого от функции (2.2) полиномиального интеграла с однозначными на
Т2 коэффициентами.
Действительно, если уравнения (2.3) имеют интеграл, независимый от
интеграла энергии (х,х)/2 + s2V, то (согласно § 1 гл. IV) при п-2 система
уравнений (2.3) имеет интеграл в виде ряда по е, независимый при е = 0 от
функции (х, х)/2. Теорема 2 является частным случаем теоремы 3 из § 4 гл.
III.
§ 3. Полиномиальные интегралы систем с полутора степенями свободы
1. В этом параграфе обсуждается задача об интегрируемости одного
неавтономного уравнения второго порядка
х = -dV/dx (3.1)
с 21г-периодическим по х потенциалом V(x, t). Уравнение (3.1) описывает,
в частности, колебания маятниковых систем. Примером служит уравнение
Чаплыгина
х = kt2 sin ж, k = const ф 0, (3-2)
379
Глава VIII. Полиномиальные интегралы
описывающее вращение тяжелой пластинки в безграничном объеме идеальной
жидкости.
Следуя работе [103], рассмотрим задачу о наличии у уравнения
(3.1) интеграла в виде полинома по скорости
ао(х, t) + ai(x, t)x + ... + ап(х, t)xn (3.3)
с 27г-периодическими по х коэффициентами щ, (0 ^ к ^ п). Интеграл (3.3)-
однозначная функция на расширенном фазовом пространстве (x,x,t) G М х Т1
х М.
Дифференцируя функцию (3.3) в силу уравнения (3.1), получим следующую
систему уравнений в частных производных первого порядка для отыскания
потенциальной энергии V интегриру-
емой системы и коэффициентов о^:
(°n)i = 0, (3.4.П+1)
(Пп)г "Ь ((r)п~l)x " Oi (3.4.Тг)
(пп-1)( "Ь (&n-2)x ~ (3.4.71 l)
((r)n-l)t "b ((r)n-з)х " (^ 1)0"-!^, (3.4.71 2)
(°1 )t + (°o)x - 202^4, (3.4.1)
(oo)t = 01 vx. (3.4.0)
Эта система состоит из тг + 2 уравнений и содержит столько же неизвестных
функций V, ао, а\,..., ап.
Отметим, что уравнение (3.1) сохраняет свой вид при подстановке х -* х +
at, V(x, t) -* V(x + at, t) + f (t), где a = const, / - произвольная
функция времени. Этой тривиальной калибровкой мы будем постоянно
пользоваться.
Лемма 1. Выполнены равенства a" = a° = const ф О, а"_j = = const,
on_2 = 710°К (при подходящей калибровке V).
Доказательство. Из (3.4.77+1) вытекает, что функция а" не зависит от х.
Следовательно, а" = (а"), где (g) = ^ /02,г <7(0:, t) dt. Усредняя обе
части уравнения (3.4.тг) по х, получаем ((an))t = 0. Следовательно, an =
const. Но тогда из (3.4.?г) вытекает, что an_i не зависит от х, поэтому
