Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
имели п голоморфных интегралов, необходимо, чтобы любое другое
преобразование д' группы монодромии сохраняло неподвижную точку
преобразования g и переводило его собственные направления в собственные
направления. Если при этом никакие собственные значения преобразования д'
не образуют на комплексной плоскости правильного многоугольника с центром
в нуле и числом вершин 2, то д' должно сохранять собственные направления
преобразования g (т. е. должно коммутировать с д).
(Последнее условие заведомо выполнено, если д' тоже нерезонансно.)
Докажем теорему 1 для простого, но важного для приложений случая n = 1.
Пусть собственное значение отображения д не является корнем из единицы, и
пусть х, у - симплектический базис для
д. Собственные направления д - две прямые х = 0 и у = 0. Выше было
показано, что любой однородный интеграл д имеет вид c(xy)s (s G N). Пусть
д'-другое отображение из группы G. Функция (хуУ инвариантна относительно
действия д', поэтому множество ху - 0 остается неподвижным при
отображении д'. Так как д' - невырожденное линейное отображение, то точка
х = у = 0 неподвижна, и отображение д' либо сохраняет собственные
направления отображения д, либо переставляет их. В первом случае д',
очевидно, коммутирует с д, а во втором случае имеет вид х -> ay, у -*
(Зх. Отображение д' - симплектическое, поэтому его матрица V = "
удовлетворяет условию (Т')т JT' = ./, откуда а(3 =
= - 1. Но в этом случае собственные значения матрицы Т' равны ±г. Точки
±г образуют именно тот исключительный правильный многоугольник, о котором
идет речь в заключении теоремы, что и требовалось доказать.
Как показал С. Л. Зиглин [64], условия теоремы являются необходимыми и
для существования п независимых интегралов, мероморфных в окрестности
комплексной кривой Г. Было бы интересно найти необходимые условия
существования п независимых векторных полей симметрий с голоморфными
компонентами.
8. Рассмотрим случай, когда элементы матрицы A(t) - однозначные
двоякопериодические мероморфные функции времени t S € С, имеющие внутри
параллелограмма периодов только один полюс. Можно считать, что A(t)-
мероморфная функция на комплексном торе X, полученном из комплексной
плоскости С факто-
365
Глава VII. Ветвление решений
ризацией по решетке периодов. Рассмотрим два симплектических отображения
д и д' за периоды матрицы A(t). Предположим, что их собственные значения
удовлетворяют условиям теоремы 1. Тогда для того, чтобы уравнение (5.16)
имело п независимых аналитических интегралов, необходимо, чтобы д и д'
коммутировали. Следовательно, обходу особой точки (элементу дд,д~1д'~1 G
G) будет отвечать тождественное отображение пространства С2п-2.
Применим это соображение к линейному дифференциальному уравнению
z + (со2 + sf(t))z - 0, (5.17)
где о>, е - действительные постоянные, / - эллиптическая функция с
периодами 2п и 27гг, имеющая в прямоугольнике периодов единственный полюс
второго порядка. Можно считать, что при действительных t функция /
принимает действительные значения. Примером такой функции является
известная р-функция Вейерштрасса.
Уравнение (5.17) можно интерпретировать как линеаризованное уравнение
колебаний маятника с вибрирующей точкой подвеса в окрестности положения
равновесия.
Найдем собственные значения отображения из группы монодромии,
порожденного обходом вокруг полюса функции /. Пусть (для простоты записи)
полюсом является точка t - 0. Ряд Лорана
CL
функции f(t) в окрестности точки t - 0 имеет вид - + fntn
t n>0
(а ф 0). Будем искать линейно независимые решения уравнения
(5.17) в виде рядов
Р € С, Со ф 0.
71^0
Так как z(t) = tp ^ (р + п)(р + п - 1 )cntn 2, то
71^0
Приравнивая нулю коэффициент при t~2, получим уравнение [р(р - 1) +
?<а]со = 0. Так как со ф 0, то р(р - 1) + га = 0; это уравнение даст два
значения р\ и Р2, соответствующих двум линейно независимым решениям
линейного уравнения (5.17). При обходе полюса эти решения умножаются
соответственно на е2жгр1 и е2жгр2. Соответствующая матрица монодромии
будет единичной, если р\ и Р2 - целые числа. В частности, еа должно быть
целым числом.
366
§ 5. Группы моноЪромии гамильтоновых систем
При s = 0 собственные значения матрицы монодромии уравнения (5.17) при
отображении за периоды 2ж и 27гг равны соответственно Aii2 = e±27ruJl и 2
= е±2жш. Очевидно, что |pi,2| ф 1 при ш Ф 0 и Ах г ф ±г, если w ф 1/4 +
кж, к € Ъ. Из соображений непрерывности ясно, что при ш ф 1/4 + кж и
малых ? ф 0 собственные значения /фг не являются корнями из единицы, и ф
±г (это свойство, в действительности, имеет место для почти всех ш и е).
Следовательно, по теореме 1, уравнение (5.17) в этих случаях
неинтегрируемо в комплексной области. Отметим, что в действительной
области это уравнение вполне интегрируемо: оно имеет аналитический
интеграл F(z,z,t), 27г-периодический по t. Дело в том, что линейной
канонической заменой переменных, 27т-периодической по t, уравнение (5.17)
можно привести к линейной автономной гамильтоновой системе с одной
