Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
несоизмеримости гамильтонова система неинтегрируема.
Основываясь на теореме 1, С. Л. Зиглин доказал неинтегрируемость системы
Хенона - Хейлеса (см. § 8 гл. I), функция Гамильтона которой имеет вид Н
- {у\ + у\+х\+х^)/2+х\/3 - Х\х\. Соот-ветствущие уравнения Гамильтона
имеют однопараметрическое семейство эллиптических решений
х2 = У2 - 0, Xi(t,k) - а\ - (ai - a2) sn2(r, к),
--------------------------------- (5.26)
yi(t,k) = -(ai - a2)v2(ai - а3)/Звп(т,к)сп(т,к) dn(r, к),
где т = ty/(ai - a3)/6, к = к(Н) = y/(ai - c2)/(ai - аз), аиа2,а3 - корни
уравнения z3 + 3z2/2 - 3Н = 0.
13 Козлов В. В.
369
Глава VII. Ветвление решений
Следовательно, риманова поверхность решения (5.26) является двумерным
тором с выколотой точкой. При малых значениях энергии Н матрицы
монодромии, отвечающие базисным циклам этого тора, удовлетворяют условиям
теоремы 1.
В работе X. Иошиды [237] предложены некоторые общие соображения для
исследования интегрируемости обратимых систем с неоднородными
потенциалами. Они основаны на изучении группы монодромии при h -> 0 или h
-> оо, где h - постоянная интеграла энергии. В качестве приложения
рассмотрена задача о наличии дополнительного интеграла системы с
гамильтонианом
Hn = {у\ + iff)/2 + Vn(x \,х2),
N /с оу\
V)v = У^[(\/Зж1 +х2)к + (-VSxx + х2)к + (-2х2)к]/к\
к-1
Функция Vjv является усечением ряда Маклорена для потенциала цепочки
Тоды: ехр(\/Зж1-|-Ж2)-|-ехр( - >/3(r)i+(r)2) + exp(-2х2); систему с
гамильтонианом (5.27) можно назвать "усеченной" цепочкой Тоды. При N - 2
имеем гармонический осциллятор, при N = 3 - систему Хенона - Хейлеса; в
[237] доказано отсутствие нового голоморфного интеграла усеченной цепочки
Тоды при N ^ 3.
Еще один пример обратимой системы с неоднородным потенциалом представляет
задача о вращении тяжелого твердого тела с неголомной связью: обращается
в нуль проекция угловой скорости на некоторое направление I, жестко
связанное с телом (см. § 7 гл. I). Если центр масс тела лежит на оси /,
то вращения тела с запасом полной энергии h описываются уравнениями
Гамильто-
на с гамильтонианом Н = - {р1 + р2) + -
2 "2 \ Т 2
, 1 <1+ ?,
k-2\h+h
(см.
уравнения (7.7) гл. I). Здесь 1\, 12 - моменты инерции твердого тела. При
1\ = 12 имеем интегрируемый случай Лагранжа (с нулевой проекцией скорости
на ось I).
Опираясь на теорему 1, С. Л. Зиглин исследовал задачу о наличии
непостоянного мероморфного интеграла на комплексифи-цированной
поверхности уровня Н = h [65]. Он доказал, что при h ф 0, 1\ ф 12
дополнительного мероморфного интеграла не существует. Аналогичный
результат справедлив и при h = 0, однако здесь нужно потребовать
выполнения одного из двух дополнительных условий: 1) w ф г; 2) \/2cos7ra;
ф cos7rr, где ш = + 8а/4,
а = 1\/12 или а = /2//ь 1 рациональное число.
Положим формально 1\ = -12. Тогда при h - 0 получим систему Янга- Миллса.
В этом случае ш = х/7 г'/4, и поэтому заведомо выполнено условие 1).
370
§ 5. Группы монодромии гамильтоновых систем
В заключение отметим еще одно важное применение теоремы 1. С. Л. Зиглин
доказал, что дополнительный мероморфный интеграл уравнений Эйлера -
Пуассона задачи о вращении тяжелого твердого тела с неподвижной точкой
существует только в трех классических случаях: Эйлера, Лагранжа и
Ковалевской. Если зафиксировать нулевое значение постоянной площадей, то
к этим случаям надо добавить еще случай Горячева - Чаплыгина. Этот
результат также основан на анализе уравнений в вариациях для некоторых
частных решений уравнений Эйлера-Пуассона [64].
Отметим, что вопрос о существовании дополнительного интеграла уравнений
вращения тяжелого твердого тела в действительной области при произвольном
распределении масс остается пока открытым. Ясно, что в системе Хенона -
Хейлеса и Янга - Миллса заведомо нет вещественных дополнительных
аналитических интегралов, поскольку тогда в малой комплексной окрестности
точки х = у = 0 эти системы имели бы голоморфный интеграл, независимый от
интеграла энергии.
13*
371
ГЛАВА VIII
ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ
В этой главе излагаются специальные методы поиска гамильтоновых систем,
допускающих полиномиальные по импульсам первые интегралы. Актуальность
такой задачи определяется прежде всего тем, что все известные интегралы в
гамильтоновой механике либо полиномы по импульсам, либо функции от
полиномов (см. § 1 гл. И). Задача о наличии линейных и квадратичных
интегралов вполне элементарна и обычно решается без труда. Существенные
трудности представляет задача о полиномиальных интегралах, степень
которых не фиксирована. Ее пока удается решить полностью лишь для
некоторых классов гамильтоновых систем.
§ 1. Метод Биркгофа
1. Рассмотрим необратимую систему с двумя степенями свободы. В
локальных изотермических координатах х, у функция Лагранжа принимает вид
L = у(х2 + у2)/2 + ах + (3у - V. (1.1)
Здесь у, а, /3, V-функции от х, у, причем у > 0. Уравнения
Лагранжа с лагранжианом (1.1) имеют интеграл энергии
