Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
о"_ 1 = (on_i). Усредняя уравнение (3.4.77 - - 1) по х, придем к
равенству an_i = (a"_i) = const. Следовательно, уравнение (3.4.71 - 1)
приобретает вид (on_2)х = na(r)Vx, откуда получаем, что разность an_2 -
тга° V зависит лишь от времени, что и требовалось доказать.
380
§ 3. Системы с полутора степенями свободы
Делением интеграла (3.3) на ненулевую постоянную а(r) приходим к равенству
ап = 1. Выполняя затем подстановку х -> х - - (ап-i/n)^> получаем
уравнение вида (3.1) с интегралом (3.3), в котором а"_j = 0. Итак, можно
считать, что ап = 1 и а"_i = 0.
С помощью леммы 1 легко получить условия существования линейного и
квадратичного интегралов. При п = 1 из соотношения а"_2 = пУ получаем V =
0. Следовательно, линейный интеграл сводится к интегралу момента х. При п
= 2 из уравнения (3.4.0) получаем соотношение 14 = 0, откуда V = f(t),
где /(•) - произвольная гладкая 27г-периодическая функция. Интеграл (3.3)
превращается при этом в обычный интеграл энергии автономной системы с
одной степенью свободы.
При п = 3 уравнения (3.4.0) и (3.4.1) дают систему (ао)х = -314, (ао)( =
ЗН14, из которой для функции V получаем уравнение второго порядка:
Vtt + (VVX)X = О, (3.5)
которое совпадает с интегрируемым стационарным уравнением Хохлова -
Заболоцкого. Метод его точного интегрирования изложен, например, в [211]
(там же можно найти ссылки на работы по этой тематике). Нас интересуют
лишь 27г-периодические по переменной х решения (3.5). Применяя известную
теорему Коши - Ковалевской, получаем, что для произвольных аналитических
27т-периодических функций fug существует аналитическое решение V(x,t)
уравнения (3.5), периодическое по х с периодом 27Г и такое, что П(ж,0) =
f(x), 14(ж,0) = д{х). Следует отметить, что на самом деле в теореме Коши
- Ковалевской ничего не говорится о периодичности по переменной х, однако
легко доказать, что если начальные данные периодичны по х, то тем же
свойством обладает и решение рассматриваемого уравнения. Таким образом,
имеется семейство потенциалов (зависящее от двух произвольных
периодических функций), при которых уравнение (3.1) имеет нетривиальный
интеграл третьей степени по скорости.
2. Эти наблюдения обобщаются на случай полиномиальных интегралов
произвольной степени: для любого п ^ 1 существует семейство аналитических
потенциалов V(x,t), 27г-периодических по х, зависящее от п - 1
произвольной аналитической 27т-периодической функции, для которых
уравнение (3.1) имеет полиномиальный интеграл степени п с однозначными
аналитическими коэффициентами. Доказательство основано на применении
теоремы Коши - Ковалевской. Однако эту теорему непосредственно нельзя
применить к системе (3.4). Преобразуем (3.4), поль-
зе 1
Глава VIII. Полиномиальные интегралы
зуясь леммой 1 и полагая ап = 1:
nVt = ~(а"_3)х +{п- 1 )a°n_lVx, (3.6.п - 2)
(ап-з)< = - (ап-4)х + (п - 2)nVVx, (3.6.п - 3)
(&n-i)t = (^п-б)х "б {ф 3)<2П_зУх, (3.6.71 4)
(dl)l - (^о)х "Ь 202^xi
(ao)t - a\Vx.
(3.6.1)
(3.6.0)
Эта система состоит из п - 1 уравнения и содержит п - 1 неизвестную
функцию ао,..., ап_з и V. К ней применима теорема Коши- Ковалевской: при
t = 0 надо задать значения п - 1 функции ао,... ,а"-з, V в виде
произвольных аналитических 27Г-периодических функций переменной х\ тогда
уравнения (3.6) при малых t будут иметь аналитические решения, 27г-
периодические по х.
Из результатов работ [211, 212] можно вывести, что нелинейная
эволюционная система уравнений в частных производных (3.6) относится к
числу интегрируемых. Однако в явном виде ее решения выписать не удается.
Пока остается неясным вопрос о продолжимости решений системы (3.6) на всю
ось времени t.
3. Исследуем разрешимость системы (3.6) в классе потенциалов,
являющихся тригонометрическими многочленами по переменной х. В качестве
примера укажем уравнение Чаплыгина (3.2).
Здесь уже не предполагается, что а°_х = 0. Поэтому в правую часть (З.б.п
- 2) надо добавить (71 - l)a°
Теорема 1. Предположим, что уравнение (3.1) с потенциалом
имеет полиномиальный интеграл степени n ^ 1. Тогда:
1) если 71 нечетно, то V не зависит от х;
2) если 71 четно, то vm = с expгде с Е С, /3 = a^l_l/n.
Следствие 1. Предположим, что \vm\ Ф const. Тогда уравнение (3.1) не
имеет нетривиальных полиномиальных интегралов с однозначными (2п-
периодическими по х) коэффициентами.
Следствие 2. Уравнение Чаплыгина (3.2) не имеет однозначных
полиномиальных интегралов.
m
(3.7)
382
§ 3. Системы с полутора степенями свободы
В своей работе [169] С. А. Чаплыгин пишет о важности изучения уравнения
(3.2), "...интеграции которого, однако же, я не выполнил".
Следствие 3. Уравнение (3.1) с потенциалом V = - \(t) sin mx + p(t) cos
mx (m € N) имеет нетривиальный однозначный полиномиальный интеграл в том
и только том случае, когда оно имеет полиномиальный интеграл степени ^ 2.
Действительно, если уравнение (3.1) допускает интеграл нечетной степени,
то имеется линейный интеграл (см. первое утверждение теоремы 1). Если же
