Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
у(х2 + у2) + 2V = 2h.
Следуя Биркгофу [18, гл. II], выполним замену времени I -> т по формуле
dr = y_1d?. (1-2)
Обозначая штрихом дифференцирование по т, запишем действие
по Гамильтону:
/•<2 ГТ
/ Ldt = /
Jti Jti
/2 , /2 х' +у'
+ ах1 + (Зу - 7
dr.
372
§ 1. Метод Биркгофа
где 7 = yV. Функции х(т), у(т) (ri ^ т ^ тг) являются экстремалями
следующей условной вариационной задачи:
Согласно известным результатам вариационного исчисления (см., например,
[19]) для каждой кривой х(т), у (г) найдется такая постоянная х, что эта
кривая является экстремалью "безусловной" вариационной задачи с
лагранжианом L* + ху. Принимая во внимание выражение (1.3), запишем
соответствующие уравнения Лагранжа:
Чтобы понять механический смысл множителя х, запишем интеграл энергии с
учетом замены времени (1.2):
тельно, в общем случае (когда у ф const) множитель Лагранжа х совпадает с
полной энергией h.
2. Предположим, что нас интересуют лишь движения x(t), y(t) с
фиксированным запасом энергии h. Для простоты записи положим h = 0 (в
противном случае можно заменить V на V - К). Траектории таких движений,
параметризованные новым временем т, найдутся из системы уравнений
Биркгофа
Этот результат установлен Биркгофом в работе [18]. Соотношения (1.7),
(1.8) использованы Биркгофом для решения задачи о наличии условных
интегралов (см. §§ 7-9 гл. II) в виде полиномов
где
L* - (х'2 + у'2)/2 + ах' + Ру' - 7.
(1.3)
(1.4)
_ да др
ду дх
(.х'2 + у'2)/2 + 7 - hy = 0.
С другой стороны, уравнения (1.4) допускают интеграл (а/2 + у'2)/2 + 7 -
ху = const.
(1.6)
(1.5)
Из (1.5) и (1.6) вытекает равенство (h - х)у = const. Следова-
х" + А у = -д'у/дх, у" - Хх = -Ду/ду, (1-7)
дополненных энергетическим соотношением
/2 . /2 0 п х +у + 27 = 0.
(1.8)
373
Глава VIII. Полиномиальные интегралы
не выше второй степени по скоростям. Оказалось, что наличие условного
линейного интеграла связано со "скрытыми" циклическими координатами, а
наличие условного квадратичного интеграла позволяет разделить
канонические переменные. Ниже приведены глобальные варианты этих
утверждений для случая, когда конфигурационное пространство системы
является двумерным тором. Отметим, что здесь изотермические координаты
можно ввести в целом.
3. Итак, рассмотрим необратимую систему с двумерным тором в качестве
конфигурационного пространства. Уточняя классический результат Биркгофа
[18, гл. II], укажем критерий существования "многозначного" линейного
интеграла. Под многозначным интегралом мы понимаем замкнутую 1-форму на
фазовом пространстве, производная от которой вдоль векторного поля
обращается в нуль. Целесообразность рассмотрения многозначных интегралов
обусловлена двумя причинами:
1) в простых необратимых системах возможны полиномиальные по скорости
интегралы с многозначными коэффициентами;
2) теорема Лиувилля о вполне интегрируемых системах легко
распространяется на тот случай, когда вместо'обычных интегралов
рассматриваются замкнутые 1-формы.
Предложение 1. Предположим, что система имеет условный линейный интеграл
(возможно, многозначный) на энергетической поверхности Н = h, где h > max
V. Тогда на пространстве положений можно так выбрать угловые координаты
х\,Х2 mod 27г и сделать замену времени dt = ?(х\,Х2)dr, чтобы траектории
с запасом полной энергии h описывались гамильтоновой системой, у которой
(i) кинетическая энергия - квадратичная форма по х\, х'2 с постоянными
коэффициентами;
(и) форма гироскопических сил f имеет вид A(.Ti) dx\ A dx2;
(iii) потенциал не зависит от переменной х-2.
В новых переменных х\,х2,т лагранжиан имеет вид Ь = = \ YLaijx'ix'j +
^(х1)х2 ~ l(xi)i гДе М - /^{x)dx; эта функция однозначна лишь в случае
fT2 / = 0. Переменная х2 циклическая: она не входит в формулу для функции
Лагранжа. Ей отвечает циклический интеграл dLjdx'2 = аих\ + р(х\)<
линейный по скоростям. Предложение 1 не утверждает, что этот интеграл
совпадает с линейным интегралом, заданным нам первоначально. Укажем
простой контрпример: обратимая система с кинетической энергией Т - (х\ +
х|)/2 и нулевым потенциалом имеет линейный интеграл ±i + л/2х2, который
нельзя сделать циклическим ни при каком выборе угловых координат.
374
§ 1. Метод Биркгофа
Для доказательства предложения воспользуемся уравнениями Биркгофа (1.7).
Пусть
1х' + ту' + п (1-9)
- условный линейный интеграл. Дифференциалы dl, dm и dn однозначны на Т2
= {ж,у mod 27г}. Вычислим в силу системы (1.7) производную интеграла
(1.9):
dl ,2 / dl дт\ , , дт ,2
дхх + \ду+дх ) ху + дуУ +
( (r)п\ / ( &n\ / ;^7 ^7 /
+ (mA + ai)I + (-,A+aJ9-'&-ma? (1Л0>
Функция (1.9) - интеграл уравнений (1.7) на энергетической поверхности
ж'2 + у'2 + 27 = 0, поэтому старшая форма многочлена
(1.10) должна делиться на функцию Гамильтона. Отсюда получаем, что
dl/дх - дт/ду = 0, dljdy + дт/дх = 0. Следовательно, формы dl и dm
гармонические на Т2, и поэтому
т = ах + by + mo, I = bx - ay + /о; a, b, mo, /о = const.
Приравнивая нулю коэффициенты при ж' и у' в формуле (1.10), получим
