Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
формулами х' = Dx, t/ = (D*)~1y, является каноническим. В частности, в
новых переменных а^,..., х'п, у[т-чУп уравнения Гамильтона (4.3) будут
снова иметь канонический вид с тем же гамильтонианом. Подходящим выбором
оператора D кинетическую энергию можно привести к сумме квадратов: Т =
{у\ + ... + у2п)/2.
Гамильтоновы системы вида (4.2) часто встречаются в приложениях. Так,
динамика конечной периодической цепочки Тоды описывается системой
уравнений (4.3) с функцией Г амильтона
П П
Н = 'Y^yl/2 + ^ехр(ж" - a\,+i), хп+1=хх. (4.4)
S=1 S=1
Уравнения (4.2) встречаются также при изучении некоторых однородных
космологических моделей в общей теории относительности [20].
Поиску случаев интегрируемости гамильтоновых систем (4.2) посвящено
значительное число работ. М. Эно [204], Г. Флаш-ка [194], С. В. Манаков
[121] установили полную интегрируемость цепочки Тоды: уравнения
Гамильтона с гамильтонианом (4.4)
386
§ 4'. Системы с экспоненциальным взаим.одействием
имеют п независимых полиномиальных по импульсам первых интегралов,
попарно находящихся в инволюции. Этот результат обобщен в работах [180,
224, 213] на случай, когда спектр Д является системой простых корней
простой алгебры Ли. С этой точки зрения гамильтониан (4.4) соответствует
алгебре типа Ап. Е. К. Склянин [231] указал еще одно интегрируемое
обобщение цепочки Тоды:
^ п тг-1
н = г Y1 у* + Y1 ехр(ж"+1- х") + "1 exPxi +
*=1 а=1
+ у ехр(2о:1) + апехр(-тп) + у ехр(-2а:п), (4.5)
где ai,/Ji,an,f3n - произвольные вещественные постоянные. Метод работы
[180] основан на представлении уравнений Гамильтона
(4.2) в виде L - А пары Лакса (для классической цепочки Тоды L - А пара
указана в п. 4 § 8 гл. II). Элементы матриц L и А являются линейными
функциями импульсов з/i,...,Уп, коэффициенты которых - конечные суммы
вещественных экспонент:
^/дехр(сл,т), /л € К, сл е Кп. (4.6)
Следовательно, следы степеней матрицы L - интегралы уравнений Гамильтона
- являются полиномами по импульсам с коэффициентами вида (4.6).
До работы [177] было мало что известно об интегрируемости системы (4.2) в
общем случае. В [177] рассмотрена система, "спектр" которой состоит из п
+ 1 векторов щ,..., an+i, любые п из которых линейно независимы.
Доказано, что при этих предположениях критерием алгебраической
интегрируемости уравнений
(4.2) является выполнение условий
7-QbQV € -Z-H Z+ = {0,1,2,...},
("г, Oi)
при всех г ф j. Алгебраическая интегрируемость в данном случае означает,
в частности, что переменные ys, expх" (1 ^ s ^ п) меро-морфны на
плоскости комплексного времени для почти всех начальных данных. Поиск
необходимых условий алгебраической интегрируемости основан на
классическом методе С. В. Ковалевской, примененном ею в динамике твердого
тела. Обобщению этого результата посвящен § 4 гл. VII. Там же (в п. 4)
рассмотрена более простая задача о полиномиальных интегралах системы
(4.3), обладающих некоторыми дополнительными свойствами.
Отметим, что далеко не каждая вполне интегрируемая система вида (4.2)
будет алгебраически интегрируемой в смысле определе-
387
Глава VIII. Полиномиальные интегралы
ния работы [177]. Вот простой пример системы с одной степенью свободы: Я
= [у2 + e~2xfm(ex)\/2, где /т( ) - многочлен степени т с простыми
корнями. Эта система алгебраически неинтегрируема при m ^ 5.
Действительно, функции J(2hq2 - f,n{y))~l^2dq = t, q = = exp x, y - q/q
являются ее решениями с запасом полной энергии К. Ясно, что при т ^ 5 для
почти всех h функция q(t) многозначна на комплексной плоскости.
Следуя работе [102], изучим интегрируемость уравнений (4.2) в
вещественной области.
2. Гамильтонову систему уравнений (4.2) назовем интегрируемой по
Биркгофу, если она имеет п полиномиальных по импульсам интегралов с
коэффициентами вида (4.6), независимых (как функции в W х W*) почти
всюду.
Вектор из Д назовем максимальным, если он имеет наибольшую длину среди
всех векторов Д, имеющих с ним одинаковое направление.
Строение интегрируемых систем определяет
Теорема 1. Предположим, что гамильтонова система
(4.2) интегрируема по Биркгофу. Пусть а, - максимальный вектор из А,
векторы aj Е Д и а, линейно независимы. Тогда
Следствие 1. Если система (4.2) интегрируема по Биркгофу, то любые два
линейно независимых максимальных вектора aj, о, Е Д удовлетворяют условию
(4.7).
Это утверждение полезно сравнить с результатом работы [177], где
рассмотрен случай, когда Д состоит из n + 1 векторов di,..., an+1, причем
любые п из них линейно независимы. В [177] показано, что критерием
алгебраической интегрируемости системы (4.2) является именно выполнение
условия (4.7). Следствие 1 утверждает, что в этом случае критерием
интегрируемости по Биркгофу также является (4.7). Эта ситуация аналогична
имеющей место в классической задаче о вращении тяжелого твердого тела с
неподвижной точкой: уравнения движения алгебраически интегрируемы в том и
только том случае, когда они имеют полный набор независимых
