Физико-химическая и релятивистская газодинамика - Компанеец А.С.
Скачать (прямая ссылка):
Для электрических величин ищем разложения вида
со оо
Х= 2 х*ь (r) р*ь (COS 0), у = ^ у2к (г) p.2k (cos 0) (10)
и для магнитных -
оо од
2 (0 ftfc+l (COS0), у =¦ Угк+г (0 P%k+1 (COS0). (И)
?=0 к-й
Подстановка в уравнения (8) дает
^ г {xs - ys) - s fs у ^ г (xs-ys)" - x*-v*rxs, (12)
drL rJ
где четность s - любая.
154
При подстановке в нелинейные уравнения (5) надо персраз-ложить произведения полиномов Лежандра по их первым степеням. Для этого имеем следующие формулы:
PvkPtl " 2 Lik'itPzny (13)
2f
Pvk+tPil+l^ ^ (14)
п=|А-П
(s+O/a
р&= ^ u5)
rt-| s-^ j /'2
в (15) четность s, t произвольна, но одинакова. Коэффициент
L4^ j находится, согласно [2], следующим образом ("формула
Герона"):
гчп _ Ьп 4.1 [2 (k + / - п) -1]Н [2 (ft + п - /) -1]И ч.
4(А-Н+п)+1 {2 (ft \-1 - л)]11 [2 (А + я - 03"
[2<я + 1-А)-1]Н [2 (к i -j- n)]!!
X
12 (n + I - A)]ll [2 (k + г + я) - 1]!!
Далее,
M5U,m = + 0 (2ft 2) f (2/ + 1) (214 2)-
?
(i6)
- (2tl + 1)1 L'2k+tt2l4V
д^2п s (з H~ 1) 2rc (2n -|- 1) - / (t -f-1) jjin
s,i~ 4n(n-\-i\ v'
(17)
(18)
4n {n -|-1)
где порядок нижних индексов в последней формуле, очевидно, не безразличен*
Сравнивая теперь коэффициенты при одинаковых полиномах* получаем условие равновесия для радиальной составляющей силы
СО л+* ^ ,
у. yA [^..i*rt-7L-A<3t+1.,(+iX,*+1-f(r№,+1)] = 0, (19)
-ч dr г г
где 0. Для составляющей силы, перпендикулярной радиусу, находим (азимутальная составляющая равна нулю по соображениям симметрии)
<ч "+1 /л-1 п+1
2 S 2 S +
/=i й=|л-/1 \i=n fe-n-i-i
У! 2 ^-^2ft+i,ir+i (2/+1) (2? т 2)хгй+1[/г/+1 - 0"
/=п
(20)
причем 1.
155
Уравнения (12), (19), (20) образуют полную систему, кото рая должна решаться внутри области, занятой зарядом г^.ги. В начале координат г^О выполняется условие регулярности; разложение величины с индексом 5 начинается с г\ При г~г0 непрерывны составляющие поля и статический потенциал заряда. Благодаря тому что "мезонное" поле осциллирует в пространстве, на него не надо налагать условий при r=oot Поэтому условия его непрерывности при г=гй могут быть удовлетворены всегда. Тогда условия непрерывности электромагнитного поля выражаются только при помощи величин х, у, определенных из внутренней задачи. Соответственно разложению (10) каждый член четного порядка отвечает электрическому мультиполю, нечетного - магнитному мулътиполю.
Согласно (7) электромагнитные потенциалы определяются просто как разности х-у. Следовательно, для нулевого порядка имеем
Для всех высших порядков мультипольные моменты исключаются, так что соответствующие граничиые условия однородны.
Несколько разная форма записи для четных и нечетных мультиполей связана с тем, что первые - электрические, вторые - магнитные. Вместе с условиями (21) и (22), а также условием в нуле система приведенных уравнений является полной и может решаться численно, если ограничиться несколькими членами в разложениях (10) и (11).
Энергию и момент нетрудно выразить в виде интегралов только по внутренней области. Так, энергия равна
Параметр xvr0 надо выбрать из условия минимума <?. В нулевом приближении [1] энергия, вычисленная по (23), не имела минимума. Однако можно было несколько изменить определение величины vy связанной с "мезонным" зарядом X. Именно: заменяя v на л/2хг0-|-е, мы нашли единственное положительное минимальное значение <?\ Выбор коэффициента я/2 дает наименьший ми-
Г,
е
(21)
Так,
?
- г to-й) - (Хг-Уг) ЦГЛ,
r?(*.-&)Ur.= -3(*t-0t)lr=r. и т- д-
(22)
?= 1Цр(Ф_Ц,)+1 (A + fcB)~ dV
(2& -р 1) (2к - 2) 4А + 3
X'ik+t?fzk+i *
(23)
156
нимум. Переход от v к е устанавливает некоторую связь между массой п зарядом "мезонов". В дальнейшем, возможно, следует минимизировать <§ и по форме заряда, отступая от сферической.
Пользуясь определением момента [3], можно выразить его тоже через интеграл, только по внутренней области, причем поверхностный интеграл обращается в нуль тождественно. Полу-чаем
v"rf
М|= -
С
ос
+ 55 X2h к=1
2ft (1-2к)
16 ^ - 1
2 (ft + 1) (2 к + 1) (4к + 1) (4к 3)
УгИ
+1
(24)
Литература
1. А. С. Компанеец. ЖЭТФ, 1962, 43, 2185,
:2. Е. В. Гобсон, Теория сферических и эллипсоидальных функций. М.. ИЛ, 1952, стр. 89.
3. Г. Венгцель. Введение в квантовую теорию волновых нолей. М., Гостехиз-дат, 3947, стр. J05-106.
КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА С ДВУМЯ ФЕРМИОНАМИ. I *
1. Постановка задачи
Современная квантовая электродинамика обладает всеми чертами законченной физической теории: она в состоянии однозначно предвычислить любой наблюдаемый эффект с заданной степенью точности, если не надо учитывать никаких взаимодействий, кроме электромагнитных. Расходящиеся выражения квантовой электродинамики частично отбрасываются, если они входят в градиентно неинвариантные члены, частично устраняются путем перенормировки массы и заряда. Хотя операция перенормировки производится по строго определенному рецепту, остается одна неудовлетворительная деталь: произведение расходящегося интеграла на постоянную тонкой структуры считается малой величиной. Для оправдания говорится, что в "будущей" теории этот интеграл станет конечным. Но трудно ожидать, чтобы эта будущая теория существенно отличалась от нынешней. Маловероят-
