Физико-химическая и релятивистская газодинамика - Компанеец А.С.
Скачать (прямая ссылка):
144
-V" (<5n)j +2s - 2 (s - ^ (pV) +
+2\<5p)(p"p')-p's((r)p')];
JL - (* + & ^ + P?~ 2 (s + ) (*"')
- 4 (pV) s [(s + ("'n')-2 (s + (pn') -4-
+2 (<?'pi) (р;п')-Нр?((r)'п')
2 s
rs+*f)\<S' p')
-2 (S + ^ (pip') + 2 (@'pi) (рГр )-2 (S'p')pi
(7)
Интегрирование ко s легко выполнить, пользуясь входящей в (1) б-функцией. Именно: s = h(a-hiof-р, и вся операция сводится просто к умножению на s и соответствующей замене в подынтегральной функции.
Проинтегрируем далее по всем направлениям импульса р. Для этого надо преобразовать множители, входящие в и /г, пользуясь (6). Именно:
с* (/ио/с-s)a-?^(р") - [Е (р) ±ck'\^E*(\v -i-k'l) =
= 2pkf<? [1 ^cos (pY) -i-mV/2p2J,
{{ш'/с-$Т + Е* (p[)~lE(p)-ck]*-B (\p-k\) =
= 2pkc2{l-cos(pk) \-irfc*j2pl\. (8)
Теперь легко произвести само интегрирование по формуле
0(1)
lim Г Жdx = Ш^/'(0)1п(а) f 0(1), а>0.
а-"о J cl -j- х а
(9)
Под х будем понимать один раз 1 - cos(pk'), другой раз I - cos(pk). Рассматривая шпуры, легко видеть, что А обращается в нуль при pj|k' и В - при р||к. Остаются поэтому только члены, пропорциональные In р/тпе, т. е.
ЛД ''I
16[l~-cos(kk')3 [р2 + (Р + Vf\[{k-р- k'f +
l
?* la[cos(pk'))-,pflb'
+ {Р + k'f),
1 Г дК ]
(Ю)
-16[i-cos(kk')] 1Р2+(Р-kf\ [(k-p-k-f+ip-kf].
^lcos(pk)) ;Pllk
Знаменатель третьего члена (5) становится малым в двух точках: при р||к и при р|[кг. Каждая из точек дает, однако, толь-
145
ко член, содержащий In pjmc. Но в обеих точках С равно нулю. Это легко видеть таким способом: при р||к' оператор (ар") анти-перестановочен с (ап'), так как (аА) (аВ) + (аВ) ("А) =2{АВ)^ (к'п')=0 и аналогично (рп/)=0 при р||к'. Тогда сомножитель [s-h(dlс-(ар )]{ап')[[+(ар)/р], входящий в С, равен (p + k')-*(ап')[1-(ар)/р]х[1+ {ар)/р]=0. Область, где к по направлению близко к к', прибавляет к интегралу члены гораздо меньшего порядка, так как, хотя знаменатель в ней становится того же порядка, что и в первых двух членах (5), сама область мала. При дальнейшем интегрировании по направлениям к' А и В умножатся снова на логарифмический член, становясь порядка !п Лю/тс2. Между тем, если удержать величины 0 (1), остающиеся от интегрирования С по dQv, они войдут в окончательный результат в крайнем случае пропорциональными первой степени In h(o/mc\ Содержать тс2, в знаменателе они, конечно, не могут, так как их порядок во всяком случае не больше А и В,
Чтобы проинтегрировать по dQh\ представим знаменатели в виде
Далее все логарифмы следует заменить на логарифмы in /ш/ {тс2, потому что остальные входящие в них сомножители сами 0(Ый/р) и замена отвечает пренебрежению членами 0(1). Тогда, снова пользуясь (9), получим
Эффективный поперечник вычисляется для энергии падаю-щих квантов, ибо для числа квантов он расходится при малых k\ как это часто оказывается, (12) содержит кп в знаменателе, и матричные элементы (2) тоже дают ?/_1. Полный эффективный поперечник будет
Если исходить из анзатца Конопинского и Юленбека, Ф будет пропорционально со4. Ход вычислений ни в одном пункте не отли*
= 2k (о -\-kr) (1 -cos (kV)
р (ft - kf) m2cl
jj, [s*_?*<p')to
k (k + k') 2p p (k - k') m2c2'
(П)
k(k-\-k') 2p*
+ k'Y)[{k-p~k'y v{pAfk'T\-c \p2 + ip-
{p-ky
(12)
(13)
146
чается от приведенного. При fr<a = 1000 тс2, как это можно положить для космических лучей, Ф имеет порядок величины 10 В связи с малостью g~10-4y эрг*см*.
Литература
1. U^. Heisenberg. Z. Phvs., 1937. 101, 533.
2. Е. Fermi. Z. Phvs., 1936, 88, 161.
3. Heitler, Bhabha. Proc. Roy. 5oc., 1936, A159, 432.
О НОВОЙ ФОРМУЛИРОВКЕ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
ДИРАКОМ *
(Представлено академиком Я. Я. Семеновым 20.XII 1951)
Недавно Дирак 1 предложил новую формулировку классической электродинамики.
Уравнения Дирака выглядят так:
-1= 4 яХЛи (1)
<)\к
ли1 (2)
е2
Следовательно, потенциалы в этой теории не являются произвольными величинами, а пропорциональны току, с которым опи связаны соотношением
(3)
Дополнительная величина д определяется условием (2), налагаемым на потенциалы. Соотношения между нолями и потенциалами, конечно, обычные.
Дирак показывает, что в предельном случае весьма малых л его уравнения переходят в уравнения движения малого заряда в электромагнитном поле, такие, как в лорентцсвской электродинамике.
В настоящей заметке рассмотрено решение уравнений Дирака для заряженной сферы.
Показано, что если задан первоначально покоившийся положительный заряд сферической формы, равномерно распределен-
* ДАН СССР, 1952, 82, вып. 6, 873.
1 P. Dirac. Proc. Roy. Soc., 1951, 209, 291.
147
ный в пространстве, то уравнения Дирака имеют два решения.
К Решение, в котором заряды разбегаются. В предельном случае малой начальной плотности оно переходит в решение, даваемое обыкновенной электродинамикой, как и должно быть, 2. Решение, в котором заряды сходятся к центру. Оно, очевидно, не может соответствовать физической реальности. Между тем оно удовлетворяет тем же начальным условиям. Если в классической электродинамике от него еще можно (словесно) отделаться, то при переходе к квантовой теории, вероятно, встретятся очень большие трудности2.
