Физико-химическая и релятивистская газодинамика - Компанеец А.С.
Скачать (прямая ссылка):
(Г1 (р) = S-1 (р)~ ¦- j y^G (p-k) rv (p, p - k\ k) 0"v (k) d*k. (2)
Но в дальнейшем, следуя [2], мы будем считать, что масса имеет чисто электромагнитное происхождение. Тогда вместо S(p) надо писать просто (р)~К
Найдем уравнение для массы в нулевом приближении, полагая
k.k
Tv - Yv* D,v - ~
Здесь выбрана калибровка Ландау. Функцию G (р) ищем в виде G{p)=[~X(p*)~p + iY(p*)r. (3)
Тогда, разделяя (2) на четную и нечетную части, получим
Х(?)р = р + AfWMMJV-, (4,
г (2л)1 J Х*(р'*)р'* + у*(р'*) Цр~рУ'
У (р*) = ^-----------------------^- , (5)
(2л)4 J X* (р'*) р'* -[- Y* (р'*> *' (Р - РУ
р - р' к П~= г - -
Р - Р' I 1*1
Чтобы выполнить интегрирование по углам, удобно перейти от галилеевского к четырехмерному евклидовскому пространству, записывая для элемента объема 4itp/sdp' sinzxdx. При этом надо положить, что р имеет только четвертую составляющую. Тогда в результате элементарных выкладок оказывается, что интеграл, входящий в (4), обращается в нуль, что было отмечено еще в [2]. Мы получаем X (р2) = 1. Этим результатом можно пользоваться и в следующем приближении по е2 к уравнению (5). Интегрируя тем же способом по углам в (5), приводим его к виду
со
г г/м.1 (6)
у U -г J *'+/*(*')/ v 1
SO х '
Здесь У(z) =mf(zjm2), 3<?2/16яг = ^. В частности, при х-0
ОО
l=xf^W^L. (7)
J дг + /* (дг)
о
Для дальнейших вычислений нам понадобится только условие f(0)~l. Асимптотический вид решения f(x)~x^K, найденный в [2], будет применен только для доказательства законности некоторых упрощений.
160
3. Первая радиационная поправка к фотонной функции Грина
Применим теперь предлагаемую вычислительную процедуру для нахождения первой радиационной поправки к функции Грина фотона. Для нее имеем выражение (см. [3])
ZV = (8)
Здесь
I
XV^ (fyiV
a II*t выражается известным образом:
И# = Т^Г Sp f YoG (Р) VtG (р - k) d*p. (9)
Под G мы будем понимать не функцию Грина фермиона в нулевом приближении, т. е. не S(p)f а точную функцию (3). В этой функции достаточно положить, однако, Х=1, У=Уг(0)=т. Но, хотя G относится как бы к свободному фермиону, не надо считать, что р = im. В дальнейшем мы положим р - 0, так что G = = (i/n)-i= (/У(0))-1, где масса целиком электромагнитного происхождения.
Таким образом, мы не должны учитывать никаких электронных собственно-энергетических поправок в уравнении Дайсона, равно как и р-мезонных. Мы считаем, что они точным образом учтены в G{p), которая находится из однородного интегрального уравнения. Поэтому, кроме поправок к D^Vj надо будет учесть еще только поправки к вершинной части.
Можно показать, что если для DtlJ выбрана калибровка Ландау, то и будет чисто поперечпым, если интеграл (9) сходится. Таким образом, в первом приближении получим
Aiv = D?vO+e Ф)> (Ю)
где 5<р - разность выражений вида
^ 4 Г + к) - 2/3 [,У - ("рУ] d
{2л)4 i№ J - k]*-\-m2\
образованная для двух фермионов. Для расходящихся интегралов входящих в (11), берем известные выражения [3, с. 503]. Существенно, что коэффициенты при них не содержат масс, так что бесконечные члены сокращаются. После этого получим
я <?2 8л* (* , [' . ml -1-k2x (i - х) т? т\\
в(Р = ITZilI \X(I- *) dxfe1П~----------------------ljT- • (12)
( * 1 --/г-х (1 - .v} 2 2 |
Благодаря сходимости интеграла по р мы взяли только G(0) -
6 Д. С. Компанеец JQJ
Выражение для 6ф следует, как обычно, сделать равным нулю при k=0. Для этого надо отбросить члены (т2г-тхг)12 и &2Х Х\п(т*/т^). Последнее отвечает конечной калибровке. Заметим, однако, что окончательный вид уравнения для отношения масс от этой процедуры не зависит, так как члены, вошедшие в перенормировку заряда, в уравнении для отношения масс сокращаются. Но мы запишем бф уже в калиброванном виде и градиентно-инвариантно:
.2 (* 1 х (1 - л*) k*hn\
б'<р=------ 1х(1 -x)dx\n-------------------. (13)
(2я)4 J 1 4- * (1 _ X) №/т\
4. Радиационная поправка к вершинной части
Если прибавить к вершинной части в уравнении Дайсона (2) первую радиационную поправку, получится выражение
J УцС (Р-к) ?>"Р (q) \aG (p-q-k) \\G (p-q) YpZV (*) d*qd*k. Здесь собственно от вершинной части стоит интеграл
Г1г) (Р, P-k-, k) =. -f- С D"p (q) YuG (p- q- k) yji {p - q) Ypd%
(2л)^
(14)
Он не обращается в нуль при поэтому для правильной ка-
либровки в уравнение надо подставить
rf; (p,p-k;k)-Г!?) (р, р, 0).
Кроме того, нас будет интересовать только значение поправки при 0. Члены продольного характера, т. е. kv и дающие после интегрирования опять kvt мы сразу опустим. Тогда подынтегральное выражение (14) приводится к следующему виду:
л л А. {щ л л л л л
- (2<?Yv? + 93Yv) + ?*Yv + - qk\\q + 2nt*\v+ - qyxq.
Яг tf-
В окончательном выражении нам понадобятся только те члены, которые будут содержать логарифмическую расходимость. Эта расходимость ликвидируется, если подставить правильное асимптотическое выражение для У(ра). Но мы выведем уравнение для отношения масс фермионов, в котором понадобится только 7(0), как в формуле для радиационной поправки к гринов-ской функции фотона. Те члены вершинной части, которые не содержат логарифмической расходимости, сокращаются из выражения для вершинной части, когда мы от самих масс фермионов перейдем к отношению масс. Надо заметить, что сами массы из уравнений получить невозможно, потому что затравочная масса
