Физико-химическая и релятивистская газодинамика - Компанеец А.С.
Скачать (прямая ссылка):
162
принята равной нулю, а построить из электродинамических величин комбинацию с размерностью массы нельзя.
Подставляя вместо G(p') простое выражение - (p'~im)-\ приводим интеграл от исправленной вершинной части во втором порядке по е2 к виду
(2л)'
k.\
Yjx
itn - k
Yv *
& (/p 4. m1)
*1 (1 - Aj) &
imkx2 (1 - xtfk*
1**^ <1 -ДГ,) -J- rn* <1 - ДГ*))*
-IK
(15)
Интегралы no и по x2 вошли, как обычно, в результате преобразования знаменателей по Фейнману. Последнее слагаемое в фигурной скобке (15) возникло при вычитании IV (0, 0; 0). Окончательно вклад радиационной поправки к вершинной части сводится к выражению
ЗпЬте 3 , L2
-----------In -
*2
(2п)* 2
(16)
5. Уравнение для отношения масс
В уравнениях для функции Грина обоих фермионов удобно перейти к безразмерным переменным |pj/mt и \р\/пь2 и затем поделить соответственно на mi и m2l Перейдя к системе отсчета, где /7=0, получим уравнения, в которые входит только f(k*(m* а) {число а под логарифмом - от нерасходящихся членов);
. Зе2 (* d*k f (&!>п]л) 1
1 =------- --------------------------------------- (1 +бф, 2) -
(2 л)4 J ,п^ Щт\ъг - Г (*-/'<,) И*1т\л
(17)
(2*)6 2 а*"'
Благодаря тому что интегралы в уравнении (17) сходящиеся, можно вычесть одно уравнение из другого и заменить при этом f(fea/m2,i2) на единицу: сходимость для разности интегралов сохраняется. Бесконечные слагаемые вершинных частей сократятся; благодаря этому мы заранее полагали f=l в вершинных частях.
При интегрировании удобно снова перейти к евклидовскому пространству. Особенности логарифмического члена, входящего в 6ф'1>2, этому не мешают, так как при изменении контура интегрирования в плоскости кк они остаются в стороне. Тогда для
163
6*
отношения масс получается уравнение
оо
8 л2( С X (1 -х)dx х (2 п)8 J 1 -г ) У
г
х Jn __________________[1 + zx( 1 - ^г)}2_______________ Зе*да 3
[1 - (1-дг->)f 1 - zm\ml*x(\ - j)| (2 л)а 2 /д*
(18)
где /(г) в числителе надо заменить единицей. Будем считать массу ту меньшей л заменим отношение tnfjm^ на j.i. Окончательно получим
1 со
i А' (1 - х) dx i - d- In---------------[1 - -0]-----------
J V J 1 Г 2 \i~ [ИХ {1 - jr)l[i + (l-lZJf a - *)| 16
о 0
(19)
Это уравнение обладает нетривиальным решением \хф1. Действительно, при |я-I оно выполняется. Но производная правой части по In 11 конечна, а взятая от левой часты - обращается в нуль. Следовательно, вблизи \х~\ правая часть идет круче. При очень малых jx левая часть идет как -ln2jii> так что обязательно есть еще один корень уравнения (19), кроме единицы. Положим сразу [i<Cl, что будет подтверждено дальнейшим расчетом. Пользуясь тем, что интеграл, входящий в (19), сходящийся, его можно представить в таком виде:
оо во
Г dz 1п_____________________________[1 + zx (1 - .у)]2_ Г f 2[l-x(l-jr)]
Jl+Z |l l- JIZJT (1 - ДГ)] [1 -- U-^A- <1 - jr)J } \ g"_j IX(1 _*)
О О IV/
-----l + tMl-j)------------------------------1 + udu_ (20)
ё* -1 цлг (1 - x) eu - 1 -[- ^ Xjc (! - x) j
Первое слагаемое справа, проинтегрированное по ху есть просто число, не зависящее от ji. Оно равняется 0,359. Во втором слагаемом надо пренебречь ji, и оно дает л2/6. В третьем слагаемом отбрасываем единицу по сравнению с рл"1^!-*)• Тогда интеграл приобретает такой вид, какой встречается в статистике Ферми;
оо
С Udu ^ 1 (1 " | ^ (21)
ехр {u - -х)НН-1 2 |i 12
о
если |л - достаточно малое число. Подставляя все это в (20), находим In [д = -4,40 или т21т, - 9. Так как уравнение относилось не к ц, а к его логарифму, расхождение с правильным числом m2//n, = 206 не чересчур сильное. Можно полагать, что оно воз-
164
никло за счет недостаточной сходимости приближении но е~, в котором велись расчеты. Еще одно приближение по е\ вероятно, может быть получено, но существенное уточнение теории требует совсем иного подхода.
Уравнения в более высоком приближении по постоянной тонкой структуры могли бы содержать в себе некоторую возможность определения самой этой постоянной. Действительно, в настоящей работе мы были вынуждены просто отбросить градиент-но неинвариантный член т22/2-т,2/2. При более точном вычислении это будет некоторая функция постоянной тонкой структуры и отношения масс, которую следует полагать равной пулю для того, чтобы придать теории инвариантность. Кроме того, будет еще уравнение типа (19), куда тоже войдут отношение масс к постоянная тонкой структуры. Поэтому то и другое, в принципе, могло бы быть определено.
В заключение выражаю благодарность Л. А. Кружковой-Зайцевой за помощь при вычислениях и обсуждение результатов.
ПРИЛОЖЕНИЕ
ТЕОРЕМА ЧЕЛЛЕНА -ЛЕМАНА ДЛЯ РЕГУЛЯРИЗОВАННОЙ ФОТОННОЙ ФУНКЦИИ ГРИНА
Как известно, фотонная функция Грина должна удовлетворять соотношению
где р{Л42) - положительно определенная функция. Соотношение (ПЛ) вытекает из общих требований унитарности.
Проверим, что (ПЛ) выполняется для регуляризованной нашим способом функции Грина фотона. Сначала покажем это для функции, найденной в том же приближении путем обычной процедуры перенормировки. Соотношение (П.1) перепишется в этом случае так:
