Физико-химическая и релятивистская газодинамика - Компанеец А.С.
Скачать (прямая ссылка):
(3)
Здесь иЧр) - спинорная амплитуда волны Дирака с ?=1 и 2. Она также определяется в приближении Е - ср, поскольку Е, как будет видно из дальнейшего, имеет порядок величины ?0*
134
Поле падающих электронов, соответствующее переходу р0, а^р, р описывается методом Меллера. Л именно: конструируются соответствующие плотности заряда и тока
Р = e'F*0lFp; / =
причем скалярный и векторный потенциалы искомого поля определяются из уравнений Даламбера
Q Ф = - 4лр; Q А = - 4 л77 с, (4)
здесь а - вектор Дирака.
Для удобства решения уравнений (4) Wa(p0) разлагается по плоским волнам;
?а) (р^ - e'iE°m j aW (р') d р', согласно интегральной формуле Фурье
^ w-*57 V'S^-ii'D •¦<*>.
здесь v*{pf) - спинор: ;
о1 = -^
п
(P* + Фу)/Ро Рг/Ро
~ Рг/Ро 0 ; V2- 1 V* (At -iPyVPo 1
1 0
0 1 1
1 ; a4- * 0
(рл + iPy)/Po /2 ¦ Рг/Ро
PzfPa (P*- tpi,)/Po
(5)
Этот спинор отличается от спинора плоской волны. Так, если и г/4-амплитуды спинора, соответствующие положительной энергии, то vl и vа не обязательно соответствуют отрицательной энергии.
Окончательно получаем
(6)
здесь |р'| =р0, dQ'-элемент телесного угла для направления р'. Отсюда обычным способом получаются <р и А:
1 . Г el(Ea-E(p))tlh-i(p'-v)v !>i
Ф = А -
V2nRV
i
VZiiRV
ep0h
epjl
(P' - P)2 - (?. - E (p'))2/c2 ^i(?0-?(/j)) i/h -l{p' -p) г/ft
(p' _ p)* -(?"-? (p'))Vt7 135
v'v-uPdQ!,
v*aau^dQ'.
(7)
Массу тяжелой частицы можно считать бесконечно большой. Ее изменение в процессе p-перехода пренебрежимо мало по сравнению с Е0/с\
Пусть, например, неподвижная тяжелая частица, расположенная в начале координат, является нейтроном. В этом случае весь процесс вынужденного p-распада описывается в терминах теории рассеяния следующим образом. Сначала нейтрон спонтанно распадается на протон, p-электрон и нейтрино. Это состояние называется промежуточным. Далее p-электрои взаимодействует с падающей частицей и получает энергию, достаточную для перехода в конечное состояние.
Импульс и спин спонтанно возникающего электрона в промежуточном состоянии обозначим через 1', 6(6 = 1, 2, 3, 4), Электрон может иметь и отрицательную энергию. Конечное состояние электрона и нейтрона обозначим соответственно через 1, y(V = = 1, 2.) и S, е (е=1, 2).
Возмущенная собственная волновая функция электрона п конечном состоянии представляется с помощью обычных формул теории рассеяния
_____1- - e?h!±_____________________^YTfhe-i{E{l)^E^)-EQ}tih
v V2V (p' - p)i - (E0- E (p)) Vc2
(8)
где Г = 1 + р-p' и
v*a(p') u^{p) Ц*6(Г) av(l) v*a (pr) a (p) ub (IQ q uy (I)
E (0 -b H (p) - E?б (Г) E (I) + E (p) - - ?6 (f)
(9)
Обмен между падающим и возникающим электронами будет учтен в дальнейших формулах.
Обозначим Е{1)+Е(р)-Е0 через W. Суммирование по переменной 6 выполняется известным способом: числитель и знаменатель (9) умножаются на №+?(Г) и в числителе заменяется на Ни6.
Кроме того 6ifc. В результате имеем
х 4- И (Г)] "v (I) у^сш* [Г + Н (Г)1 я ц* (I) 10>
"*v д?*_?"(/') Г* -Е"(Г) *
Фермиевскнй матричный элемент, определяющий рождение p-электрона и нейтрино, пропорционален значениям их Т-функ-ций в начале координат.
Для учета обмена следует взять в матричном элементе антисимметричную комбинацию состояний двух электронов. При этом антисимметризации подлежит только одна пара состояний. Таковой может быть, например, пара конечных состояний р, Э и 1, у-
136
В случае перехода протон->-нейтрон нужно было бы рассмотреть обмен падающего электрона с электроном, имеющим отрицательную энергию.
Для искомого матричного элемента получаем следующее выражение:
И = р'У* (П 4fV i\) = - Se'2flP" eitE0-bil)^E{p)~.FAb))t!h х
V2 JiRV*
f__W_ j (p'-p}2-(?0-
(S)
---------V. (11)
? m№' <P' -1)' - (?" - E (/))' ?' /
Интегрирование no dQ' выполняется без труда. Именно: в приближении Меллера полагается
т2с2
Р = - П -
с 2 Е2
так что
(Р' -Р)2 -(Е0-Е (р))Ус* =
1 -f-
-Ь
т2с* (Е" - Е (р)У
2 Е1Е* (р)
-COS Z (Р'Р)
(р'-1у*_(ео-Е(ОГ/с" =
a 2 ?0? (О
1 +mV (?"-~ Е (!)]г -cosZ (р'1)1-
Щ&(!) J
Но поскольку тсг<&Е9% применима следующая формула
f^) Аа-
lim ? J-?Ldy= -/(0) In а + 0(1).
а-+о J а • •[- у
Эта формула получается интегрированием по частям, если только ДО) =?^0 и jf{0) Фоо. Интегрирование (II) выполняется после подстановки 1-cosZ_(p/p)- у и соответственно 1-cosZ-Z_(p *i)=y. Следует только еще подставить р'Нр В И Р [I I
Для дальнейшего р'111 обозначим через р" и определим вектор V* тождеством 1" = ] + р-р".
Далее будет видно, что Е(1) и Е(р) имеют тот же порядок величины, что Еа, поэтому
1п
тУ (Е,-? fp))2
2 Е^Е1 (р)
можно представить более кратко в виде 2 In - .
Е*
137
При этом получаем
.?
//- -ae^hceiiE"-E{p)-E(l)-EfsW/h In2 - -*upv - ^*upv-
|/ /?К3& me3 ?(p) ?(/)
(12)
Искомая вероятность перехода имеет вид
\Н\^Ъ\Еа-~Е{р)~Е{1) -E(s)]. п
Просуммируем эту вероятность по конечным состояниям всех частиц. Сначала вычислим сумму по спиновым координатам в, Р, у. Но поскольку каждое из четырех значений а равноценно (веса всех этих значений в нашем приближении равны), выполним суммирование только по а и разделим результат на 4. При суммировании встречаются члены двух типов: и
