Физико-химическая и релятивистская газодинамика - Компанеец А.С.
Скачать (прямая ссылка):
101
3. Диффузионное приближение с учетом конечности скорости света
Найдем решение уравнений переноса излучения, отвечающее квазистационарпому режиму распространения по холодному газу плоской тепловой волны с постоянной скоростью v7 считая все функции, входящие в (5) и (6), зависящими от координаты х и времени t только в комбинации х - vt [при этом под интегралами t следует брать с учетом запаздывания, как в (5) и {6)J.
Будем решать задачу в диффузионном приближении, иначе говоря, допустим, что на одной длине -пробега излучения t-\jk температура вещества меняется не очень сильно. В этом случае
в (5) и (6) можно разложить в ряд по степеням (л; - х') и ограничиться рассмотрением только первых трех членов этого ряда.
Удобно также ввести "ретардированную" оптическую толщину ? по формулам
(^?);c=const- ' h х
I = Г k(x'\ t") dx" =
x - x
xf - vl t -
\ № J.
оо при x = 0
- Ос при xr = x0.
(Г)
Тогда разложенные в ряд выражения для U(x-vt) и S(x - vt) для точки х, расположенной не очень близко от границы прозрачности, примут вид
U (я - и/)ж(У++1/_ =
г 1 оо ¦"
j j [[/P]e-C/Mg It/p]e-^d?
•0 0 0 -Co
S (x-vt) ~S+ +S_ =
(8)
г 1
L0
ОО -10 -1
dji j [Up] + j da f [UP] е-Ел* dt, ,
О О -CO J
(9)
здесь
lUp] = Up(x~vl)
P = -.
(10)
причем t/p берется от аргумента x-vt, a U'p и Up" означают соответственно первую и вторую производные от функции t/p(x - vt) по этому аргументу. В (8) и (9) опущены величины и 50> поскольку не очень близко от границы прозрачности (х=0) они дают экспоненциально малые вклады в U и S.
102
Чтобы выполнить интегрирование по I и р, надо выразить х? ~х через ? и \i. Для этого воспользуемся определением "ре-тардированной" оптической толщины (7):
С
*/?\ = у 2 v*?/x^Vf
S2 /1 P
--v+Vi1 <ll>
В (11) l берется от аргумента л:-vtf а V- производная от / по этому аргументу.
Подставляя (11) в (10), получаем
[UP] = UP (С, = (l +
+f(1"ir)(C/^+t/^°- (12)
Если теперь еще раз ввести оптическую толщину т, дифференциал которой равен dx=d(x- vt)fl(T)4 причем т=0 при лг=0
и т=оо при х=х$, получим вместо (12)
\i / йт 2 \ ц } dxг
(12')
В интегралах U- и S_ удобно сделать замену переменных
-? и ц-э-тогда выражения U(x - ut) и S (х-vt) не очень близко от границы прозрачности принимают симметрии-иую форму
00
U(x-ot)^j j'|UP(?, [*)+Up(-C, -ji)] e*t*dZ, (13)
0 I
DO
S(x-vt)^j-|ф. j'lC/p(?, _^)ie-5/MdC. (14)
0 0
Если в эти уравнения подставить (12') и выполнить интегрирование по ? и ц, получим выражения для U и S в диффузионном приближении с учетом конечности скорости света:
и Ж ир + (Шр/dT + - d2UP/dr°-, (15)
- -cdf/p/dt - -^cdiUPldxi. (16)
3 3
Из уравнений (16) и (15) можно исключить производные от Uvt оставляя линейные по р члены и пренебрегая производными порядка выше второго. Тогда вместо двух уравнений (15) и (16)
103
приходим к двум другим, из которых одно связывает диффузионный поток S и плотность излучения U при учете конечности скорости света
(заметим, что в [1] использовалось уравнение (17) без первого члена в левой части).
Уравнения (17) и (18) можно получить и непосредственно из дифференциального уравнения переноса излучения (1), если решать его в диффузионном приближении (линейная зависимость /(fi) от ц). Для этого надо последовательно умножить (1) ни 2л[д и 2л и проинтегрировать по |х в пределах от -1 до +1Т принимая во внимание определения (4).
Мы предпочли воспользоваться интегральными уравнениями переноса (5) и (6), так как из уравнения (6) одновременно получается н выражение для диффузионного потока S на граница прозрачности. При выводе этого выражения уже нельзя пренебрегать величиной Sv в этом уравнении. Тем же методом, которым получено равенство (16), находим из (6), полагая в нем х = 0,
(индекс 0 указывает, что производные берутся при т~0). Производные от Uv надо исключить из (19) при помощи (15) и (16); тогда получаем в нужном нам приближении выражение для диффузионного потока на границе прозрачности
Таким образом, величины Т} U и 5 на границах переходного слоя должны удовлетворять следующим условиям: на границе прозрачности
(17)
а другое является уравнением баланса лучистой энергии
- PcdU/dx -г dSfdr =c(Up - U)
(18)
(19)
на границе с холодным газом
х - > ос у Т - U = S = 0.
104
Из уравнения баланса энергии д(г + U)/dl-\-dSldx^=0 и условия (22) следует
S = v(* + U), (23)
где е(Т') -плотность энергии вещества газа при температуре Т. На границе прозрачности уравнение (23) имеет вид
S(t = 0 )=и(е(Гв) + ?/1). (24)
4. Скорость распространения квазистационарной
тепловой волны
Цель настоящей работы состоит в том, чтобы выяснить, как влияет конечность скорости света на величину скорости распространения v тепловой волны в холодном газе. Как было указано в разделе 1, в случае, когда на границе прозрачности в [1] оказалось возможным, что v'>c. Поэтому представляет интерес исследовать здесь именно этот случай.
Пренебрегаем в уравнении (18) и исключаем из (17) и
(18) 5; тогда получаем уравнение, содержащее только U:
±_ ря\ j.2р = 0 р _ (25)
.3 K|dts ' (it с
