Физико-химическая и релятивистская газодинамика - Компанеец А.С.
Скачать (прямая ссылка):
Точно такое же уравнение получается и для S, если из (17) и
(18) исключить U¦ Решение этих уравнений ищем в виде Сехр(-тУ|5)> причем X должно быть действительным и положительным, чтобы U и 5 удовлетворяли условию (22) при т-^оо. Анализ характеристического уравнения для X
_lU*__2X-1=0 (26)
Зр-
показывает, что оно может иметь необходимые нам решения Х>0 только в том случае, когда коэффициент при X2 положителен, т. е. когда
р<1//3. (27)
Когда этот коэффициент равен нулю или отрицателен, действительных положительных корней уравнения (26) не существует.
Неравенство (27) означает, что в рассматриваемом приближении плоская квазистапионарная тепловая волна не может распространяться со сколь угодно большой скоростью: эта скорость v всегда меньше с/у3.
Из двух корней уравнения (26) один оказывается отрицатель ным, и его следует отбросить; положительный корень равен
К-- Уз р/(1-Узр). (28)
105
Таким образом, решения уравнения (26) для U и аналогичного уравнения для S, удовлетворяющие условию (22), таковы:
U = Сх(г^% S = C3<rTVP, (29)
где постоянные интегрирования Ct и С2 должны быть определень* из условий (21) на границе прозрачности. Очевидно, что - используя (24), можно получить и С2,
Из уравнений (18) и (23) при ?/>?/р следует, что
$dt/dx= - t/.
Интегрируя это уравнение при условии (21), получаем соотношение
tye (Т0) = %1 = /3 Р/(1 - УЗ р). (30)
Уравнение (30) определяет отношение б^/е^) как функцию
f) = vjc. Оно показывает, что при |3<1/У3 это отношение может принимать любое конечное значение. Таким образом, какова бы ни была величина Uiy скорость v распространения квазистацио-
нарной тепловой волны всегда меньше с/уз. При UJe(TQ)<^ 1
(т. е. Р<С1/УЗ) соотношение (30) переходит в соответствующий результат работы (1] для случая, когда
Благодарим Ю, П. Райзера за обсуждение работы.
Литер ату р а
1. А. С. Компанеец, Е. Ланцбург. ЖЭТФ, 1961, 41, 1649 (см, наст, изд., стр. 91).
2. С. Чандрасекар. Перенос лучистой энергии, М., ИЛ, 1953.
АВТОМОДЕЛЬНАЯ ЗАДАЧА О РАЗВИТИИ УДАРНОЙ ВОЛНЫ ИЗ ВОЛНЫ СЖАТИЯ *
(Представлено академиком Л. И. Седовым 14.ХЦ 1955)
Автомодельные начальные условия задаются в следующем виде: р0 = Вха, х > 0;
Ро~0, * <0; Q
Р0 -• const] . ,
0 \ - оо х 00
t>o=0 J
Здесь рч, - начальные давление, плотность и скорость.
* ДАН СССР, 1956, 107, вып. 1, 29.
106
Мы положим оь<1, так что кривая распределения давления имеет в начале координат вертикальную касательную. Дазле-нием невозмущенного газа мы пренебрегаем, в этом приближении задача и является автомодельной.
Уравнения газовой динамики в переменных Эйлера, как известно, имеют вид
(1)
Ы дх р дх
± 4.1 ро = 0; (2)
dt дх
±JL + t,l_L = о. (3)
di pv dx pv Вводим следующие переменные:
В_\р (1р **
.Ре/ * \Ро/
= (f) ~=(-У - ; (4)
(5)
о=-ф(Б); (6)
р=Ре" (0; (7)
(c) = //ц>; (8) щ = 1 (9)
В этих обозначениях система (1)-(3) переписывается так:
(2р-ф) €ф-во?Х-- (Ю)
¦ -&Р +(2р-ф) - ф; (11)
0 - Y) (2Р-Ф) + (2?-Ф) ^ 2 (I - ф) со. (12)
В уравнения не входит явно %. Исключая из них х и образуя частное от деления ф на получаем дифференциальное уравнение первого порядка
_ 2ft - ф (9 - Ф2) (2Р ~ Ф) + ю$ - ТФ - 4ft)
(о 2 (1 - <р) (2р - <р)2 + (1-V) (2р-ср) (20(р-<р+2ю) 2 (1-<р) ш '
(13)
Это уравнение является основным в настоящей задаче. Исследуем поведение интегральных кривых.
** Такие подстановки впервые ввели Л. И. Седов и К. П. Станюкопич
107
Линии ф-2р и ал -0 суть два особых решения (13). Любая интегральная кривая может пересекаться с этими линиями только в особых точках уравнения (13). Найдем теперь общий ха рактер интегральной кривой. В окрестности точки ф=0, а> = 0 уравнение (13) выглядит так:
где С - постоянная интегрирования.
Покажем теперь, что начальным условиям задачи можно удовлетворить только положив С= 0. Действительно, моменту / = 0 отвечает ? = 0- Согласно начальному условию, ф(0)=0,причем порядок обращения ф в нуль должен быть большим, чем 1/2р, потому что %хт пропорционально t. Для | имеем следующее уравнение:
[(2р~-Ф)г - ую) I ^ (r) (2 - W'4р) ; - (2р-ф) (<р - Ф2). (16)
При Сф0 ф~У<о (при малых ф и ш), что дает согласно (16) ф~Но это не удовлетворяет начальному условию для ф. Следовательно, С=0. Тогда ф=-2а>(1 - )/20). При этом вблизи <р -0, id = 0 уравнение (16) пишется так:
что согласуется с начальным условием. Следовательно, из точки Ф = 0, (1>(tm)0 выходит вполне определенная интегральная кривая в сторону отрицательных ф и положительных ш. Этой кривой отвечают положительные значения х и отрицательные у, как и должно быть. Точка х = 0, % = оо при f;>0 физически ничем не выделена. Легко видеть, что в этой точке ф обращается в бесконечность, как I, а ш - как что и обеспечивает регулярный ход всех функций при л;-0.
Действительно, точка $~оо, со - оо является узлом для дифференциального уравнения (13), Вблизи этого узла со = С/ф*.. Подставляя это в (16), получаем
что и обеспечивает регулярность решения при х=0. После этого интегральная кривая переходит в область ф>2р, ">0 (через узел при ф = оо, о) = оо).
