Физико-химическая и релятивистская газодинамика - Компанеец А.С.
Скачать (прямая ссылка):
Пример такого процесса был рассмотрен нами ранее в работе [1], где изучалось расширение нагретой области в газе. Решалась задача о скорости квазистационарного распространения в непрозрачном холодном газе границы нагретой области, причем в начальный момент времени внутри области вещество газа не .¦находилось в равновесии с излучением и было прозрачным для него. Определяющим являлся тонкий переходный слой от прозрачного, горячего газа к полностью непрозрачному, холодному.
* ЖЭТФ, 1962. 43. выи. 1(7), 234.
98
Баланс между излучением и поглощением в этом слое и определял скорость распространения тепла излучением.
В [1] была найдена зависимость этой скорости от величины отношения неравновесной плотности энергии излучения в прозрачной области к плотности энергии вещества газа е(Го) на границе прозрачности {граница прозрачности условно определяется температурой при которой пробег излучения порядка размеров всей нагретой области). При некоторых условиях где t/p0=a7V- равновесная плотность энергии излучения на границе прозрачности) скорость распространения v границы нагретой области по холодному газу определялась формулой
V = cUt У3е(7\,),
где с - скорость света (см. формулу (16) в [1]). Так как L/t и е(Г0)-физически не связанные величины, эта формула может привести к невозможному результату v>c при достаточно больших их.
Для того чтобы избежать этого, в настоящей работе будет найдена скорость v при учете конечности скорости распростра-нения света.
2. Интегральные уравнения переноса излучения при учете конечности скорости света
Совместим начало отсчета х-0 в момент времени ?=0 с границей прозрачности и направим ось х в сторону холодного газа. Тогда переходный слой, который из-за малой толщины можно рассматривать как плоский, займет пространство между точкой х=0, где он граничит с прозрачной областью, условно простирающейся до -оо, и точкой где он граничит с
холодным газом (см, рисунок).
Состояние излучения в переходном слое описывается дифференциальным уравнением переноса излучения, которое для нашего случая имеет вид [2]
1 5/ , д/ I t V kc It /1 \
+ bI = -UP. 0)
с dt дх 4л
Здесь 1{х, t, |i) -интегральная (по частотам) интенсивность излучения, ]i - косинус угла между направлением распространения луча и осью х, k(xy t) - коэффициент поглощения излучения,, усредненный по частотам, [/р = аР- равновесная плотность, энергии излучения, причем температура Т-Т{ху f); а=7,55-¦ 10_1Л эрг'СМ~*'град~к.
Удобно отдельно рассматривать интенсивность I(x, t, ц) для и-т. е. для излучения, идущего "вперед" и "назад". Потребуем чтобы функции /(ц^О) и /(^^0) удовлет-
99
4*
воряли следующим граничным условиям
/(|х>0, х-Ъ) = у-Ux (t),
4л
/ ([I < 0, л: ^ хй) = О,
(2)
Первое из условий (2) описывает подвод лучистой энергии из прозрачной области к переходному слою на границе прозрачности, Оно учитывает неравновесное состояние излучения прозрачной области, где плотность энергии излуче-иия по порядку величины равна Ut (как было указано в [1], плотность энергии излучения у границы прозрачности почти такая же, как и внутри прозрачной области, т. е, при-ir ближенно равна ?/1 = а7'4/?//{Т), где
R - размер всей нагретой области О х х х газа, 1{Т) - определенным образом
0 усредненная по частотам длина про-
бега излучения, характеризующая лучеиспускательную способность нагретого до температуры Г газа; в [1] показано также, что U^UV<).
Второе из условий (2) означает, что в переходном непрозрачном слое отсутствует излучение, входящее в него на границе с холодным газом.
Решениями уравнения (1), удовлетворяющими граничным условиям (2), как легко показать, являются
1 >^г>0: I (х, U ]*>>§ = j-UAi - -)е11(0, *)¦+
4л V |лс /
t')UP(x\ ПЕ^х'.х)
О
- 1 <. (1 -< 0: / (х, iy |i <; 0)
dx1
Xf>
y-\k(x\ Пи9(х\ Г)Е,,(х\ х)^-, 4л J ц
(3)
где обозначено
Ец (х\ х) = ехр
X
- j k (X", Г)
dx
Г =*/
х - X
Iхс
t" = t
х - х
[1C
100
По определению, плотность энергии излучения U(xr i) и поток излучения S(x4 I) связаны с интенсивностью 1{ху /, \i) соотношениями
j 1
и (х, /) = Г/(х, t, ц)4l. S (х, t) 2л [ 1 (х, t, ц.) цф. (4)
^ щ) ч)
-1 "1
Подставляя (3) в (4), приходим к интегральным уравнениям переноса излучения, которые связывают U(л% /) и S(x, ?) с равновесной плотностью энергии изучения Uv = aT* и в которых ав-
томатически учитывается запаздывание:
1
и (V, 0 = | j dixU, Е" (0, *) -f-
О
I х
+ JJf?iL t!)Up(x', Г)Е"(х',х)И-\-
2 J |i J fi
о 0
-i x" f
+ i f Г ft (*', /') Up (X-, п ?" (*', x) ^ -
2 J u J Ц
u X
=U0 + U+ -ь (5)
1
S(e' ^(0, A)
и
1 A1
+ ~ jdji j'A(je\ f)t/p(*\ J?)y +
+1 j j k (x\ f) U, (x', f) E" (x't =
0 x
= se+s++s_. (6)
Обозначения ?/c, Si/±, понятны из уравнений; C/u и Se представляют собой соответственно плотность энергии и поток излучения, приходящего в точку х от границы прозрачности;
и U-, S_ - плотность энергии и поток излучения, приходящего в точку х из переходного непрозрачного слон соответст-венно справа и слева от рассматриваемой точки. Во всех этих величинах учитывается, что по пути в точку х излучение испытывает поглощение.
