Физико-химическая и релятивистская газодинамика - Компанеец А.С.
Скачать (прямая ссылка):
92
Нетрудно оценить U{ по порядку величины. Именно: Ux{T)i*RaTktl(T). (2)
Таким образом, пробег 1(Т) здесь характеризует излуча-тельную способность единицы объема нагретого газа, равную caTkjl(T) (с - скорость света). Величина {/(Г)]-1 равна спек-тральному коэффициенту поглощения, усредненному по распределению Планка с учетом вынужденного излучения [5]. Для дальнейшего удобно ввести эффективную температуру излучения
по формуле (Л^аТУ или
7>да(Г)]\ (3)
Для того чтобы нагретая область расширялась путем переноса лучистой энергии, в каждую точку непрозрачной области должно приходить излучение с температурой Г, несколько более высокой, чем местная температура вещества. В рассматриваемой задаче плотность энергии излучения может значительно превышать ее локальную равновесную плотность а Г4 (в приближении лучистой теплопроводности это превышение считается бесконечно малым)* В частности, на границе непрозрачной области при Т = Т,, тоже должно выполняться неравенство
и,>аТ,К (4)
Найдем условие, при котором это неравенство выполняется. Отношение UjaT^ можно с помощью (I) и (2) записать как 1(Тп)аГЦ(Т)аТо^(Т1Тоу~\
Показатель 'степени п для полностью ионизованного газа равен V* {5, 6]. У не полностью ионизованного газа он меньше 7/2) т. е. неравенство (4) выполняется при T>TG.
3. Непрозрачный внешний слой и скорость его распространения
Непрозрачной является та область, в которой температура падает от Та до нуля. Толщина этой области гораздо меньше /?, поэтому приближенно ее можно рассматривать как плоский слой. Иначе говоря, в каждый данный момент времени можно считать, что прозрачная область занимает полупространство, и состояние излучения в ней характеризуется температурой 7\. Граница прозрачной области будет тогда перемещаться в сторону холодного газа с постоянной скоростью v(Tlt Т0). С этой же скоростью будет перемещаться и любая точка непрозрачного слоя в соответствии с тем, что его толщина гораздо меньше R.
Таким образом, мы свели задачу нагревания газа излучением к нахождению квазистационарного режима распространения плоской тепловой волны по холодному газу (ср. [7]). Распределение температур вещества Т и излучения 7\ по радиусу качествен-
93
ио изображено па рис. 1. Заштрихованная часть отвечает непрозрачному слою.
Выпишем теперь уравнение лучистого распространения тепла в непрозрачной области. Для плотности энергии вещества в й потока энергии S имеем, очевидно, соотношение
d(e+ U)/d( + dSfdx = 0. (5)
Мы пренебрежем всеми видами переноса энергии, кроме лу~ чистого. При тех больших температурах, которые рассматриваются в настоящей задаче, перенос энергии излучением происходит столь быстро, что газ не успевает реагировать на изменение
Рис. 1, Рис, 2
давления и не приходит в движение; иначе говоря, гидродинамическим переносом энергии можно пренебречь. Примем* что г = = где р - плотность газа, сг - удельная теплоемкость при постоянном объеме, которую будем считать не зависящей от температуры. Напишем теперь уравнение баланса одного только излучения:
dU/dt + dSldx^c(ar~U)!l(T). (6)
Правая сторона уравнения (6) учитывает баланс между испусканием и поглощением лучистой энергии.
Так как пробег излучения быстро падает с уменьшением температуры, можно считать, что он гораздо меньше размеров области. При этом перепое энергии излучением можно рассматривать в диффузионном приближении [4], так что
S^ - 'kl'cdUldx.. (7)
В приближении лучистой теплопроводности в этом уравнении вместо U ставится аТк. В данной задаче последнее приближение недостаточно, так как оно приводит к нулевой скорости распространения. Пробег V усредняется по частотам иначе, чем рассмотренный выше пробег ЦТ), характеризующий лучеиспускательную
94
способность прозрачной области нагретого газа. Мы примем, однако, для простоты, что в непрозрачной области / из (6) и Г из (7) одинаковы (см. [4, 8]).
Граничные условия для системы уравнений (5) - (7) следующие: на границе прозрачной области Т = Т^ U-Uu на передней границе нагретого газа Т=0, 5-0, U = Q.
Так как мы ищем стационарный режим распространения, надо считать, что все величины зависят от координат и времени только через аргумент х - vtl. Кроме того, удобно ввести оптическую толщину т, дифференциал которой равен
дх - дх/1(Т)
(координата л: отсчитывается в сторону уменьшения температуры 7), и перейти к безразмерным величинам
Интегрирование уравнения (5) при условии Т ==S = U = 0 (или up = s = u~0) на передней границе нагретого газа сразу
приводит к уравнению
s = tip* 3JW. (9)
Вместо же двух уравнений (6) и (7), исключив dx, можно получить одно обыкновенное дифференциальное уравнение
- = у"зр -1- = |/Зр 4- "----(а ~~ , (10)
du s s s
которое вместе с (9) связызает величины s, и и р (или размерные 5f U н и). При данном значении параметра р последнее уравнение интегрируется единственным образом с граничным условием s=0, и=0, На границе прозрачной области (при 7 = 70l U- = ?Л или ир = ир,у U - Ui) это дает некоторую величину s(uft; (3), которую надо приравнять tip* 4- узрц, согласно (9). Отсюда определяется искомая величина скорости Р(*Л, мРо) или 70).
