Физико-химическая и релятивистская газодинамика - Компанеец А.С.
Скачать (прямая ссылка):
Интегральная кривая проходит ближе к оси ф, чем изоклина нулей. Действительно, если бы где-либо при ф<0 имело месте
(Н)
Общий интеграл этого уравнения есть
(15)
4р*А=со(2-4р) + 2рФ = 4Р<р, Ф
(17)
108
пересечение интегральной кривой с изоклиной нулей, кривая не могла бы пройти через точку ф=оо (см. рисунок). Уравнение изоклины нулей на бесконечности ш-Аф2, а уравнение интегральной кривой на бесконечности со = Вф2, где В<А.
Точка, отвечающая переднему фронту ударной волны, лежит не в этой области, а ниже ф = 2ф*. Действительно, уравнение фронта ударной волны вследствие автомодельности задачи есть
x=f(-)V, (18)
!о \Ро/
где gn -число. Отсюда, используя соотношения для ударной волны, имеем
(dK'\* 4ft2 1 (В /4Э'2 _ Ч +1 Р - Y + 1 - (-\* t^f № V
"и " 2 р.- 2 iisU * ;
(19)
о 2
Но иа = -, откуда следует, что ф2 (?")= --- / (Е"). Подставляя
Y + lpo Y-1-i
это в (19), получаем
(20)
У +1
Мы взяли положительный знак корня, так как скорость везде направлена в сторону отрицательных х и ударная волна находится при А'<0. В дополнение к (20) имеем
со (?р) =, та . (21)
° (Y + 1)2
Таким образом, точка интегральной кривой, отвечающая ударному фронту, лежит ниже прямой <р=2р. Эта прямая сама является особым решением основного уравнения (13). Следовательно, интегральная кривая может пересечься с ней только в особой точке. Особых точек на этой прямой две: при ш - оо и при со = 0. Последняя особенность высшего порядка. Через первую из них интегральная кривая пройти не может, потому что ")> обращается в бесконечность при х=0, т. е. при ф~оо. Если бы со = оо п любой другой точке, получилась бы бесконечная температура. Помимо этого, при с] = оо, ф = 2р уравнение имеет седло. Проходящая через него единственная кривая (сепаратриса) не может совпадать с особой интегральной кривой, представляющей решение при ф - 0, (c) = 0. При ф = 2р, <й = 0 все иптеграль-
* Существование ударного фронта впереди волны с необходимостью следует кз того, что нет никакого другого решения, удовлетворяющего нулевым граничным условиям при х--оо.
109
ные кривые, идущие со стороны ф>20, <о>0, ближе к оси ф, чем изоклина нулей, не проходят через эту осо' бую точку, кроме особого решения со=0. Но это решение не совпадает с интегральной кривой при ф>2р и не приходит в точку, отвечающую ударной волне. В точке а>=0 имеется
и особенность типа узла. Соответствующие интегральные кривые лежат ниже сепаратрисы, тангенс угла наклона которой к оси со есть
I / (2fJ- 1), Изоклина нулей в этой точке проходит круче, имея тангенс наклона -у/(2р-1)4-1/р. Но интегральная кривая, по доказанному, идет еще круче и не может прийти в особую точку со стороны узла.
Единственная возмож-ность получить решение задачи состоит в том, чтобы допустить существование второй ударной волны, идущей по сжатому веществу позади первой. В этой волне происходит скачкообразный переход через линию ф = 2р. Так как обе интегральные кривые выше и ниже ф = 2р определены единственным образом, точки перехода могут быть прямо найдены из решения системы уравнений
(5 - ф1)2
+
Y-1
(Фх-Ф а)2=(М2) (7
+
Y
ох
^1/
Y-1 *
§2 _ (ft - /а)
- 'W Фг
Индекс 2 отвечает точке ниже линии <р=2р.
Функции со, f и ^ однозначно определены вдоль обеих интегральных кривых в зависимости от ф. Поэтому написанная здесь система уравнений в принципе дает возможность определить ф, и ф2, а, следовательно, по уравнению (16) можно найти и | второго ударного фронта. Дальнейшее интегрирование (16) определяет и ? = отвечающее головному фронту.
110
На рисунке показано' примерное расположение интегральных кривых в полуплоскости <й>0. Головной ударный фронт показан в точке Sj, вторая ударная волна - в точках S2, S/. Искомая интегральная кривая проведена жирной линией. Области я<0 отвечает нижний отрезок, области ж>0 - оба верхних отрезка.
Институт химической физики Поступило
Задача о медленном распространении пластической деформа* дин была решена С. Л. Соболевым [1]. Мы рассмотрим ударное распространение пластической деформации в среде, характеризуемой следующими свойствами. В начальном состоянии ее плотность р0, при этой плотности она оказывает пренебрежимо малое сопротивление сжатию. Доведенная до плотности ри среда несжи маема и в этом состоянии пластична, причем принимается, что абсолютная величина наибольшего касательного напряжения линейно зависит от среднего нормального напряжения (условие пластичности Прандтля) [2]. Такого рода пластичностью может обладать, например, песок.
Ударная волна возникает под действием взрыва в некотором весьма небольшом сферическом объеме радиуса RQ. Главные оси тензора напряжений совпадают с координатными линиями сферической системы, центр которой совмещен с центром взрыва. Главные нормальные напряжения мы назовем аг и а9 = а9. Условие пластичности, согласно предположению, должно быть записано так:
Академии наук СССР
10.VIII 1955 г
УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ПЛАСТИЧЕСКОЙ УПЛОТНЯЮЩЕЙСЯ СРЕДЕ *
(Представлено академиком Н. Я. Семеновым 17.1 1956)
ar-aq=:k + m(ar-Ь 2о*).
Уравнения движения уплотненной среды имеют вид
