Физико-химическая и релятивистская газодинамика - Компанеец А.С.
Скачать (прямая ссылка):
1
X
r<i + vjuJ ,Гамма-Фун1Щию
удобно представить контурным интегралом, чтобы выразить ее через экспоненту. Получаем приближенное равенство
1\ -1 л5
/v [ = - j e-^ds, (10)
Л*
¦изо
где
а г~ - In (stfc2^8).
01)
122
После этого интегрирование по q выполняется:
оо
j qdqj{
terv-wx/. = а Л ^i-^l 4. 1 ^ VT^Sv*
\Ч Г2 + а2 ^ 2 ^ у.S , "О I
Г2 ч- сь^
(12)
Интегрирование по s можно произвести в двух случаях:
2а) Точка прямо над источником, г-0, Считая, что 5 под логарифмом порядка единицы и вынося а из-под интеграла, по* лучим
-7,2
%<к, (13')
|^_Я| / 1 + е~1ф
4лт in (тА.2е^2) \ тЛ*
Г (Я*/*)
Г (2 - XLA)
Формула (137) показывает, что легкий газ в тяжелом далеко не сразу переходит к равновесному больцмановскому распределению. Сначала он распространяется по высоте почти по тому же закону, что и тяжелый газ. Это распределение тоже удовлетворяет диффузионному уравнению, так как
что соответствует постоянному потоку. Плотность раньше обра. щается в нуль, чем становится равновесной. При Xi<,% равное весие приближенно достигается раньше.
26) Точка на уровне источника, z=О и большие времена, тА.аЗ>1, Тогда, если г>а, имеем
/г = I Я, - Я * g~2M [in (тХ.2) - 0,577]. (14).
2ятХ,(r) г2
В случае, когда Xi - l:
п = -№№-0,577]. (15).
Jtwr
Неравенство г>а фактически означает г>21п%%?/Х. Как показывают уравнения (14) и (16), плотность при больших расстояниях от источника быстро убывает. Таким образом, в отли^ чие от диффузии в однородной среде, распространение вбок в: поле тяжести заметно подавлено.
Вычислим еще количество вещества, ушедшего вверх.
При т^2^>1 легко проинтегрировать общее выражение (7):
¦ -------Г"7Г~' Об')-
ОО оо
2л \ г dr \dzti -
В обоих случаях основная масса вещества уходит вниз. Это связано с распределениями (13') и (13").
Задача очень упрощается, если диффузия происходит только по высоте из плоского горизонтального слоя. Тогда вместо формулы (7) имеем замкнутое выражение
п
) 2 1 ]- е
Т/у
5 2
|?Ц-Xj/л
(17)
Для точки, где плотность максимальна, отсюда получаем урав-нение
К
-кг
е
т
-- хКг
X -г- , X,
л.
xl, ^<Л.
(18')
{18")
Считая, что тА,2"1, можно было заменить /ц.,-*,,,. (х) его нулевым членом разложения.
Ширина распределения оценивается по обычным формулам теории флуктуаций. Это дает
1 \>К (19')
V (г- г'П? =
/U, '
Vl ''С
(т
Таким образом, в отличие от свободной диффузии, ширина распределения стремится к конечному пределу порядка X.
В заключение выражаю благодарность В. Л. Тальрозе за-постановку задачи.
ЦЕПНЫЕ РЕАКЦИИ ПРИ УЧЕТЕ ДИФФУЗИИ ДВУХ АКТИВНЫХ ЦЕНТРОВ*
Совместно с В. В. Воеводским
1. В конце двадцатых годов Семеновым [1] было установлено, что в кинетике ценных реакций большую роль играет диффузия активных центров к стенкам сосуда. Выяснению этого обстоятельства послужил теоретический анализ экспериментальных данных по воспламенению паров фосфора [2]. Прямые опыты Трифонова, поставленные с целью проверки этого основного для
* ЖЭТФ, 1952, 23, вып. 2(S), 231).
124
цепной теории положения, количественно его подтвердили [3].
Семеновым и его сотрудниками было показано, что в огромном большинстве всех практически важных случаев опытные факты подтверждают расчеты, основанные на представлении о том, что преобладает диффузия одного активного центра над другими. Соответствующее дифференциальное уравнение было решено сначала для крайнего случая большого коэффициента рекомбинации у стенки, когда концентрация там считается равной нулю (так называемая диффузионная область процесса рекомбинации) [4]. В дальнейшем Семеновым [5] было получено общее решение этого уравнения для любых значений коэффициента рекомбинации, объяснившее ряд разнообразных экспериментальных данных, в том числе опыты Бирон'п Налбапдяна [6], являющиеся прямым доказательством существования наряду с диффузионной областью кинетической области обрыва цепей на стенках, когда скорость рекомбинации на стенках определяется не коэффициентом диффузии, а только константой скорости гетерогенной рекомбинации.
Применимость представлений о диффузии одного активного центра вытекает из того, что химическая активность центров различного типа обычно существенно различается, и поэтому концентрация того из них, который медленнее вступает в реакцию, во много раз превышает концентрацию остальных активных центров.
Однако возможны такие редкие случаи, когда концентрации двух активных центров оказываются сравнимыми. Это может иметь место, например, при сильном обеднении реакционной смеси одной из компонент: концентрация того активного центра, который в ходе цепной реакции взаимодействует с этим веществом, сильно возрастает. Приближенное решение такой задачи на примере реакции окисления водорода было дано в 1946 г. одним из нас '[7]. Уже эти приближенные расчеты дали удовлетворительное согласие с опытом и объяснили, в частности; наблюдаемое на опыте смыкание нижнего и верхнего пределов воспламенения в области малых содержаний водорода.
Вопрос о роли диффузии двух или большего числа активных центров рассматривается также в недавно вышедшей книге Акулова [8]. Акулов, однако, исходит из неверного представления о том, что диффузионное уравнение для одного только центра не включает членов, "учитывающих цепные превращения частиц друг в друга", и что "поэтому такие уравнения к цепным процессам по существу... неприменимы" {8, с. 17].
