Физико-химическая и релятивистская газодинамика - Компанеец А.С.
Скачать (прямая ссылка):
(о
(2)
(3)
*ДАН СССР, 1956, 109, вып. 1, 49.
111
Из уравнения (3) следует, что
u^k(t)!r*. (4)
Подставляя это в (2) и исключая 0о при помощи (1), получаем после интегрирования
о,
k
Ът
+
л
(а - 1) г
-2Р,
Л*
(а -4) г*
C(t) г-",
(5)
где
а = 6:п/(1 -г 2 т). (б)
Гранитные условия па фронте ударной волны имеют вид P0R=P}{R-u(R)), (7)
Pi (Л-и № -<МЮ- (8)
Здесь R- радиус фронта ударной волны.
Па границе расширяющейся полости надо приравнять давление нормальному напряжению, взятому с обратным знаком:
(9)
Радиус полости легко определить, исходя из сохранения массы . Если Re - начальный радиус полости, получаем
RЛ-
1 Ро\ J_ Ро
Pi / Pi
У* / п. У' \ Pi
{10)
Величиной R^ можно здесь пренебрегать, даже если 1- р0/р, порядка нескольких процентов.
Принимая, что вещестпо в полости расширяется как идеальный газ с показателем изэнтропы уу находим выражение для Р:
p=p*{ji'{i~r
\Н / V (ч/
(И)
Исключая С(^) и Я(/) из (7), (8) п (9), приходим к дифференциальному уравнению
RR f R2
2
Pi
а - 1
4-Ct
"jT
2 (°- - -Pd/Pi) * - lj
(а ~ 4) [(1 - po/pj)
x-*a
a
l!
Pi
1 _Po Pi
WJt
3
-1
+
3m
M) -'ll-
(12)
112
Оно интегрируется в квадратурах. Прежде чем записать квадра-ТУРУ> удобно исследовать выражение в правой части. Уравнение должно во всяком случае допускать решение, отвечающее равновесию, # = 0, Й-0. В правой части (12) будет стоять нуль, если
Равновесие должно достигаться и тогда, когда т = 0, как г. теории пластичности Сен-Венана, потому что k и m не связаны друг с другом. Но в этом случае для равновесия необходимо, чтобы k было меньше нуля. Отношение |&1/Ро весьма малое число, порядка 10~4 или меньше. Это оправдывает приближение, сделанное в (10), применительно к условию равновесия (13) для не слишком больших у.
Условие равновесия (13) при &<0 выполняется для псеч у2. Но если -Va^/ггСО, то равновесный радиус больше, чем при т = 0. Это весьма мало вероятно, ибо m описывает до полнительное трение в условии Прандтля. Поэтому надо считать, что т>0. При очень больших m равновесный радиус снова становится больше, чем при т = 0. Следовательно, эти значения пг лежат за пределами применимости линейной формулы (1) в рассматриваемой задаче.
Введем теперь следующие безразмерные величины:
Приближение (10), а значит и все дальнейшее, оправдано только в том случае, если в интеграле (18) область, близкая к 1,
а
з
V
(13)
(14)
(15)
Об)
В этих переменных уравнение (12) перепишется так:
(17)
Его первый интеграл есть
(18)
113
не дает существенного вклада, т. е. если ji-3у^>0г Это условие не является особенно стеснительным, как видно из таблицы значений jj, при разных а и пористости 1=!-p0/pi.
> 0 1 2 3
0,01 3,26 4,44 6,00 7,84
0,1 3,78 4,78 5,98 7/0
0,2 4,12 5,00 5,96 7,12
Считая, что условие \i~3у>0 выполнено, можно пренебречь и первым слагаемым в уравнении (18), в чем легко убедиться
сравнивая коэффициент Л/?т с величиной ' Тогда полу-
чается простое выражение для уz:
U^-3Y)!v Р 3mji Г 1 '
откуда получается значение максимального радиуса расширения волны
Rrrt - Rt
Зту, 1 р0
р - Зу -- \k
ft 3 -1)61
JL
зу
(20)
Вещество остается сжатым и после разгрузки, так как сжатие необратимо. Rm больше равновесного радиуса в отношении (|i/(n-3y))4
Время полного расширения равно
----------- зу+g г / JL , _*Л Yn
i"-R,\f PDUinMil/JkN ' -U 2'---------------. (2i)
V, A UJ r(l+l)
Отметим, что в задачу не вошло какое-либо соотношение между напряжениями и деформациями или скоростями деформации. Здесь имеется аналогия со статически определимыми плоскими задачами теории пластичности.
Литература
1. С. Л. Соболев. Труды Сейсмолог, ин-га. 1935, 49.
2. Л. С. Лейбенэон. Элементы математической теории пластичности. М.-Л., ГИТТЛ, 1943, стр. 56.
114
ТОЧЕЧНЫЙ ВЗРЫВ В НЕОДНОРОДНОЙ АТМОСФЕРЕ*
(Представлено академиком Я. Б. Зельдовичем 19.Х 1959)
Как известно, задача о точечном взрыве в среде с постоянным показателем изэнтропы у имеет аналитическое решение [1] для той стадии явления, когда можно пренебречь энергией, заключенной в среде до взрыва, по сравнению с энергией, приносимой взрывной волной. Сравнительно простое решение получается потому, что задача автомодельна: она не содержит никаких характерных параметров размерности длины, скорости и времени. Если есть градиент плотности среды хотя бы в одном направле нии, автомодельности уже нет, и точное решение не получается. При малых градиентах задачу удается рассмотреть методам возмущений [2, 3].
Если взрыв происходит в весьма разреженной атмосфере, то сильная ударная волна с предельным сжатием распространяется па такие расстояния, где плотность меняется во много раз по сравнению с плотностью в месте взрыва. Тогда линеаризация недопустима. Численное интегрирование задачи стремя переменными очень затруднительно, даже при счете на электронной машине.
Можно предложить полукачественный подход, основанный на одной существенной особенности точного яенгральяо-симметрич-ного решения. Именно, в этом решении энергия распределена почти равномерно по всему объему взрывной волны и только вблизи самого ее фронта в 2-3 раза превышает среднее значение по объему, В этой области сосредоточена и вся масса вещества.
