Оптическая галография - Кольер Р.
Скачать (прямая ссылка):
Если функцию А (I), стоящую в правой части соотношения (4.11), рассматривать как частотный спектр входной функции линейной пространственно-инвариантной системы, a S (?) как частотную передаточную функцию, то В (|), согласно равенству (4.8), есть частотный спектр выходной функции Ь (х). Вид выходной функции, выражаемой интегралом свертки, определяется видом входной функции и передаточными характеристиками системы. В соотношении (4.11) а (х) можно рассматривать как входную функцию, фурье-образ которой равен А (|); следовательно, для нахождения выходной функции остается определить вид функции s (х). Для этого сначала рассмотрим некоторые полезные свойства б-функции Дирака:
J /Но
б (х) = О при X Ф 0, (4.13а)
б (х) = - б (-Х), (4.136)
j б (х) dx = — OO 1, (4.13в)
б (ах) — \а\ 6^' (4.13г)
і (х—a) dx = j {а). (4.13д)
Свойство (4.13д) называют фильтрующим свойством б-функции. Оно выражает тот факт, что свертка какой-либо функции с б-функ-цией равна самой функции.
Предположим, что на вход системы подан импульс, т. е. входная функция а (х) представляет собой б-функцию. Заменяя в (4.11) а (и) на б (и), получаем
OO OO
b (х) = j б (и) s (х — и) du= j s (и) б (х — и) du =
— OO —OO OO
= j s (и) 8 (и—х) du = s (х).
— OO
Здесь мы использовали соотношение (4.13д), коммутативность операции свертки [см. доказательство соотношения (4.11)] и сим-
(4.14)
108
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
ГЛ. 4.
метричность S-функции. Итак, видно, что s (х) представляет собой выходную функцию, или отклик системы, соответствующий импульсу на входе. Импульсный отклик s (х) в оптике называют функцией рассеяния. Она характеризует распределение комплексной амплитуды света в выходной плоскости, соответствующее точечному источнику света, т. е. б-функции во входной плоскости. Согласно (4.И),
s (х) =э S (g), (4.15)
т. е. для линейной пространственно-инвариантной системы фуръе-образ функции рассеяния есть частотная передаточная функция.
3 -2 - s(5,5 -u) \ Q(U) /
s(-u) I s(3,5-u) г — -4-1- \ г—І ! І -!-^-J- S(7,5-u) —І -—J-1-1->
І 23456789 IO
x
І 2 3 | 4 5 67(8 9 10
U-4 -J
І і
ФИГ. 4.4. Свертка двух прямоугольных функций.
Вверху показано перемещение одной функции относительно другой. Внизу представлена свертка как функция от х, откуда видно, что ширина свертки равна сумме ширин функций, подвергаемых операции свертки.
Кроме того, соотношение (4.11) можно интерпретировать следующим образом: выходная функция линейной пространственно-инвариантной системы равна свертке входной функции и функции рассеяния.
Другим примером, поясняющим смысл операции свертки и ее связь с линейной пространственно-инвариантной системой, может
ОПЕРАЦИЯ СВЕРТКИ
109
служить функция
/(^-Lrect-iL, (4.16)
т. е. симметричная относительно оси ординат узкая прямоугольная функция, определенная в области от — Au/2 до + Au/2 и имеющая высоту 1/Au (фиг. 4.5, а). Пусть функции / (х) на входе системы соответствует функция s(x) на выходе (фиг. 4.5, б). Выразим через / (х) произвольную входную функцию а (х). Вещественная входная функция а (х), показанная на фиг. 4.5, в, представлена в виде совокупности прямоугольных функций шириной Au. Для каждого
ФИГ. 4.5. Свертка входной функции с откликом
системы на узкую прямоугольную функцию.
а—прямоугольная функция I (х); б — отклик линейной пространственно-инвариантной системы на входную функцию I (х); в — входная функция, представленная в виде совокупности прямоугольных функций; г — схема, показывающая, что свертка для любого значения х равна сумме ординат при данном х всех кривых, представляющих собой отклики.
значения х, х = и, высота прямоугольной функции равна а (и) и функция сдвинута на и от центра функции / (х). Высота а (и) в а (и) Au раз больше высоты функции / (х). Следовательно, пря-
UO
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
ГЛ. 4.
моугольную функцию при х = и можно представить в виде
а (и) I (х — и) Au.
Учитывая свойство линейности, получаем, что выходная функция, соответствующая такой входной, будет в а (и) Au раз больше выходной функции, соответствующей / (х). Из пространственной инвариантности системы следует, что смещение входной функции на и вызывает в свою очередь такое же смещение выходной функции s(x), не изменяя ее вида. Следовательно, выходная функция, соответствующая функции а (и) I (х — и) Au, равна
а (и) s (х — и) Au.
Тогда совокупности прямоугольных функций, составляющих а (х)Р соответствует сумма выходных функций
2 a(u)s(x — и) Au9
что и показано на фиг. 4.5, г.
Совершим теперь переход Au-*- du, т. е. заменим конечное приращение Au бесконечно малым du. При этом сумма переходит в интеграл, стоящий в соотношении (4.11)
Ъ(х) - j 8l{u)s(x—u)du9 (4.17)
— OO
где для общности функции а (х) и s (х) взяты комплексными. Таким образом, вследствие линейности и пространственной инвариантности системы выходная функция представляет собой свертку входной функции и отклика на узкую импульсную функцию.
§ 4. Другие виды соответствия операций
Ниже мы рассмотрим некоторые операции в координатной области и те операции, которые соответствуют им в частотной области. Для первой из них, операции корреляции, теорема фурье-преобра-зования доказывается аналогично теореме свертки. Доказательство остальных также не вызывает затруднений и может быть найдено в книге [4.1]. а. Операция корреляции
