Оптическая галография - Кольер Р.
Скачать (прямая ссылка):
128
РАСПРОСТРАНЕНИЕ И ДИФРАКЦИЯ СВЕТА
ГЛ. 5.
t (х, у) на функцию пространственной частоты. Можно показать, что запись комплексной амплитуды света через интеграл Френеля — Кирхгофа в виде (5.31) и запись в частотной области в виде (5.26) полностью эквивалентны. Поскольку доказательство этого довольно громоздко, оно приведено в приложении I. Здесь мы покажем эту эквивалентность только для параболического приближения (5.28) и для приближенной формы выражения (5.31), которую сейчас получим. Пусть в (5.31) (х2 — <^йи (у2 — У\) <С <^d; тогда cos 9 « 1. Разложим в ряд аргумент экспоненты в (5.31):
[dt + ixz-xtf + iyz-y^ttd+ (*2~*l)23+ (У27/1)2' (5.32)
и заменим знаменатель в (5.31) его приближенным значением, равным d. С такими приближениями выражение для комплексной амплитуды света при z = d имеет вид
-{-оо -J-оо
а2 (?, г/г. d) = -Q- j jt {xi, yi) X
X ехр {—(х2 —x1)2 +(у2 — у і)2 ] J dzidyi. (5.33)
Здесь опущен постоянный по всей плоскости z = d множитель. Отсюда видно, что функция t (хь ^1) подвергается операции свертки с функцией
Ь(*,1г) = ?«р[-?<*- + ^)]. (5.34)
Эквивалентность рассматриваемых приближений в координатной и частотной областях будет доказана, если мы сможем показать, что амплитуда а2 (х2, у2, d) в виде (5.33) и спектр A2 (I, л) в виде (5.28) связаны преобразованием Фурье. Поскольку, как уже отмечалось, t (х, у) zd T (|, л), то из теоремы свертки (4.11)
Следует, ЧТО h (Х, у) ZD H (I, T]), где
H (5, и) = ехр ImXd {I2 + T12)] (5.35)
является третьим сомножителем в (5.28). Запишем функцию H (I, Tj) в виде произведения
H (5, г]) = ехр (InXdZ?) ехр (inXdr)2) (5.36)
и вычислим ее обратный фурье-образ. Мы можем сделать это в два действия. Сначала проведем преобразование относительно |, считая т) постоянной, а затем сделаем преобразование относительно т], считая постоянной х. С помощью соотношения (4.27) получим
СВЯЗЬ С ИНТЕГРАЛОМ ФРЕНЕЛЯ — КИРХГОФА
129
искомый обратный фурье-образ функции H (?, г]):
^~1Н=ехр (^) і=Ьрехр (й=
=і ехр [ -¦S- (*2+^2)]=h (ж'
что и требовалось доказать.
Как отмечалось в гл. 2, § 1, комплексную амплитуду дальнего поля (дифракционную картину Фраунгофера) можно приближенно представить как фурье-образ амплитудного пропускания транспаранта. Используя (5.33), можно проверить это утверждение для случая освещения плоской волной транспаранта с амплитудным пропусканием t (хи у^. Представим экспоненциальный множитель в (5.33) в виде
ехр [ -g-W + tf)] ехр [-«^] X
хвЧйяЫ&)+*(й-)]}
Первый сомножитель не зависит от переменных интегрирования X1 и уі и может быть вынесен из-под знака интеграла. Если дальним полем считать область, расстояние d до которой больше размеров транспаранта, так что выполняется условие дальнего поля
Щ^-<а, (5.37)
то второй сомножитель приблизительно равен единице. Производя
замену
получаем
іал г ixt. . « "1
X
а2(*2, »2| d) = ^exV[-^(xl + yl)]
OO OO
X J Jt (хи у і) ехр [i2n (Ix1 + TIy1)] dxi dyx =
— OO — CXD
= -g- ехр [- -g. (4 + уі) J T (I, t1), (5.39)
где фазовый множитель сферической волны медленно меняется в плоскости х2у2 и где мы использовали определение фурье-образа (4.1). Если умножить выражение (5.39) на комплексно-сопряженное с ним, то получим, что интенсивность в дальнем поле равна квадрату абсолютной величины фурье-образа функции t.
Для дальнего поля, т. е. при выполнении условия (5.37), ? и г) определяются выражениями (5.38), аналогичными выражениям
0-0990
130
РАСПРОСТРАНЕНИЕ И ДИФРАКЦИЯ СВЕТА
ГЛ. 5.
(5.14а) и (5.146), согласно которым ? = (sin Q1)ZX и г] = (sin G2)IX. На фиг. 5.5 схематически изображена плоская волна, падающая на прозрачный объект (транспарант), помещенный в плоскости X1Zz1. Размеры транспаранта малы по сравнению с расстоянием от плоскости X1Zz1 До плоскости наблюдения X2]J2- Световые лучи, дифрагировавшие на транспаранте, можно представить в виде пучков света с одинаковым поперечным сечением, распространяющихся в направлениях, соответствующих пространственным частотам транспаранта. Один из таких пучков, проходящий под углом
ФИГ. 5.5. Схема, поясняющая понятие дальнего
поля.
O2 к оси Z1 изображен на фиг. 5.5. Его сечение плоскостью х2у2 представляет собой сравнительно небольшую область с центром в точке zz2. Если расстояние d достаточно велико, так что у2 гораздо больше размеров сечения пучка, то
Хц = sin 02 « -^- или Г) « -Ц..
Аналогично
ё~ Xd •
Прежде чем закончить этот параграф, необходимо сказать несколько слов об основных допущениях теории Френеля — Кирхгофа. Как было показано в § 3 настоящей главы, интеграл Френеля — Кирхгофа и эквивалентная ему запись в частотной области не дают точного решения задачи с граничными условиями. Физический смысл основного допущения этой теории можно проиллюстрировать на примере плоской волны, падающей на непрозрачный
ЛИТЕРАТУРА
131
экран с отверстием, причем амплитудное пропускание в пределах отверстия равно единице, а за его пределами — нулю. На самом деле это справедливо лишь для участков, удаленных от края отверстия, так как вблизи них на световое поле оказывают влияние оптические свойства материала экрана. Именно этим влиянием пренебрегают в теории Френеля — Кирхгофа, поэтому она справедлива для задач о дифракции на предметах, размеры которых велики по сравнению с длиной волны света. Это условие выполняется во многих задачах оптики.
