Оптическая галография - Кольер Р.
Скачать (прямая ссылка):
Если к произвольному двумерному распределению комплексных амплитуд света применить основную теорему анализа Фурье, то это распределение можно записать в виде дискретной или непрерывной суммы синусоидальных составляющих. Величина, обратная пространственному периоду любой из компонент суммы, измеренному в выбранном направлении в плоскости наблюдения, называется пространственной частотой этой компоненты в указанном направлении. Разлагая пространственный период по ортогональным направлениям х и г/, получаем соответствующие компоненты І и г] пространственной частоты. Таким образом, мы можем выразить распределение комплексных амплитуд а (х, у) в координатной области через другую функцию А (|, г\) в области пространственных частот. Функция А (?, ц) определяется дву-
7-0990
98
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
гл. 4
мерным фурье-образом & [а (х, у)] функции а (#, #):
cx) oo
[а (х, г/)] = І 1 а (ж, у) ехр (2яі|а:) ехр (2ягтц/) dx dy
= А(5, л).
(4.1)
Соотношение (4.1), из которого следует, что А (?, і]) есть фурье-образ функции а (х, у), в символической записи имеет вид а (х, г/) ZD A (?, т]). С другой стороны, а (х, у) есть обратный фурье-образ JF ~х [А (I, г])] функции А (5, т)):
То обстоятельство, что функция а (х, у) является обратным фурье-образом функции А (?, т])> символически можно записать как А (I, т]) сі а (ж, г/). Заметим, что если знак zz> указывает на прямое преобразование Фурье, а с — на обратное, то запись а (х, у) ZD А (І, т]) может читаться в обоих направлениях. При этом говорят, что А (І, т]) и а {х, у) образуют пару преобразований Фурье х).
Операция преобразования Фурье, связывающая координатную и частотную области, отражает физическую сущность действия оптических систем. Преобразование можно рассматривать как разложение сложной световой волны на множество плоских соли, направляющие косинусы которых соответствуют пространственным частотам. Анализ распространения и дифракции плоской волны достаточно прост, но в то же время позволяет понять основные физические принципы этих явлений.
Хотя прямой (4.1) и обратный (4.2) фурье-образы определяются интегралами с бесконечными пределами, в большинстве случаев их можно заменить интегралами с конечными пределами и выполнить преобразование оптическим методом. В гл. 6, например, показано, что пространственные распределения комплексных амплитуд света в передней и задней фокальных плоскостях сферической линзы образуют пару преобразований Фурье. Это позволяет получать голограммы Фурье, интересные особенности
*) Знаки в экспоненциальных множителях в (4.1) и (4.2) выбраны в соответствии с определением понятия плоских волн, которое вводится в гл. 5 [см. (5.7)]. Распределению амплитуд в координатной области, описывающему плоскую волну, распространяющуюся в положительном направлении осей х ту, соответствует функция положительных пространственных частот в частотной области.
oo oo
— oo —oo
= а(х, у).
(4.2)
§ 1. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННО-ИНВАРИАНТНЫЕ СИСТЕМЫ
99
которых связаны с преобразованием Фурье. В настоящей главе мы рассмотрим основные свойства преобразования Фурье, предполагая, что читатель уже знаком в общих чертах с этой теорией. Более полное изложение вопроса можно найти в работах [4.1 — 4.3].
§ 1. Линейные пространственно-инвариантные системы и преобразование Фурье
Будем рассматривать оптическую систему, показанную на фиг. 4.1, как «черный ящик»; иными словами, нас будет интересовать не содержимое ящика, а только то, как он действует.
ФИГ. 4.1. Оптическая система, рассматриваемая
как «черный ящик».
Мы хотим знать выходную функцию в плоскости P2 при заданной входной функции в плоскости P1.
При использовании когерентного света входной и выходной функциями могут быть, например, функции распределения комплексных амплитуд света в плоскости предмета и в плоскости изображения. Предположим, что входной функции ai (х, у) соответствует выходная функция I)1 (х, у), а входной функции а2 (х, у) соответствует выходная функция Ъ2 (х, у). Систему называют линейной, если выполняется свойство суперпозиции, т. е. для всех входных функций Sl1 (х, у) и а2 (х, у) и для всех ПОСТОЯННЫХ C1 и C2 входная функция C1Sl1 (х, у) + C2Sl2 (х, у) преобразуется в выходную функцию CiI)1 (х, у) + с2Ъ2 (х, у). Систему называют пространственно-инвариантной, если входная функция Sl1 (х — — и, у — и) преобразуется в выходную I)1 (х — и, у — v) для всех Sl1 (х, у). Здесь и ж V — постоянные; масштаб системы координат на выходе выбран так, что увеличение равшю единице. Заме-
7*
100
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
ГЛ. 4.
тим, что оптические системы очень часто не являются пространственно-инвариантными по всей входной и выходной плоскости. Однако обычно они пространственно-инвариантны внутри достаточно малых областей, которые называют изопланарными участками. Тогда для любого изопланарного участка систему считают линейной и пространственно-инвариантной.
Линейные и пространственно-инвариантные системы обладают свойством преобразовывать синусоидальный сигнал на входе
