Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Кольер Р. -> "Оптическая галография" -> 41

Оптическая галография - Кольер Р.

Кольер Р., Беркхарт К., Лин Л. Оптическая галография — М.: Мир, 1973. — 698 c.
Скачать (прямая ссылка): optikgalograf1973.djvu
Предыдущая << 1 .. 35 36 37 38 39 40 < 41 > 42 43 44 45 46 47 .. 230 >> Следующая

Рассмотрим теперь дифракцию на предметах более сложной формы. Пусть амплитудное пропускание предмета является периодической функцией от г/, которая может и не быть простой косинусоидальной функцией вида (5.18). Например, транспарант может состоять из чередующихся непрозрачных и прозрачных полос. Тогда амплитудное пропускание можно записать в виде ряда Фурье. В более общем случае, когда амплитудное пропускание является комплексной периодической функцией двух переменных X и г/, его можно представить в виде суммы членов, каждый из которых имеет вид ехр (—і2п^х) ехр (—і2щу) [см. (4.5)]. Умножая каждый член на соответствующий коэффициент, получаем для комплексного амплитудного пропускания t (х, у), периодически (но в остальном произвольно) зависящего от х и г/, следующий ряд Фурье:
t(z, у) =2 2 tzfeexp( — Ї2л&я)ехр( — i2ni\ky). (5.23)
l h
Суммирование проводится по всем членам, необходимым для описания двумерной функции. Пусть транспарант с пропусканием t (х, у) помещен в плоскость z = О, и на него падает плоская волна с амплитудой ?i,распространяющаяся в направлении осия. За транспарантом возникает набор плоских волн, распространяющихся в различных направлениях. С помощью (5.17) и (5.23) для суммарной амплитуды а2 (х, г/, d) этих волн в плоскости z = d имеем
»2 (я» У, d) = ai 2 2 [tlk ехР (~~ *2л&#) ехр (— і 2nr\hy) X і k
X ехр (_^(1-^?-Я2чІ)1/2)]^
= *i S 2 ехр (-J^(I-^f-X2T1I)172) X / ft
X ехр ( — i2nlix) ехр ( — і2кх\ку)}. (5.24)
Если t (х, у) — непериодическая функция, то ряд Фурье заменяется интегралом Фурье [5.2], а коэффициенты t/ь — произведением T (g, T1) d|dr), где t (X1 у) zd T (?, T1). Тогда (5.24) принимает вид
a2(s, у, d) = а4 JJ [T(E, ті) ехр (-^ (1-X2^-X2T]2)172)] X
X ехр (— ї2я?#) ехр ( — і2яг\у) d?dr), (5.25)
где интегрирование производится по всем ? и T1, удовлетворяющим неравенству (?2 + I12) ^ IA2. Анализ преобразования Фурье
126
РАСПРОСТРАНЕНИЕ И ДИФРАКЦИЯ СВЕТА
ГЛ. 5.
(5.25) дает следующий результат:
Если плоская волна с амплитудой а4, распространяющаяся & направлении оси z, падает на помещенный в плоскости z = О транспарант с амплитудным пропусканием t (х, у), то спектр A2 (L Vi) комплексной амплитуды волны в плоскости z=-d имеет вид
A2 (L ч) U=d = а,Т (L и) ехр [ - і ^ (1 - A2^2 - л.2т]2)1/2] . (5.26)
Если лучи считать параксиальными, т. е. L г) <^ 1А, то квадратный корень в (5.26) можно записать в виде
а (5.26) аменить приблияченным выражением
A2(L Ti)I2=^a1T(L T1) ехр [inXd (?2 + T12)]. (5.28)
Фазовый множитель ехр (—i2nd/X), постоянный в плоскости ху, в (5.28) опущен. (Отбрасывание фазового множителя, постоянного по всей плоскости, эквивалентно сдвигу начала отсчета времени.) Поскольку в (5.28) фаза ср = nXd (?2 + г)2) = nXdv2 является параболической функцией координат L г], то приближение (5.28) называют параболическим. Мы часто будем пользоваться этим приближением, поэтому следует установить границы его применимости. Определим при г] = 0 верхний предел значений пространственной частоты L для которых параболическое приближение справедливо. Заметим, что в (5.27) следующий (опущенный) член разложения равен л.4?4/8. Для определения искомого предела мы должны задать допустимую ошибку в фазе. Известное правило Рэлея (см. [1.13]) гласит, что любая хорошая оптическая система не должна искажать фазу волнового фронта больше чем на я/2. Принимая этот критерий, запишем
2nd ^ я ,г 9Q4
— — <--2", (о.^у)
откуда
Приведем числовой пример. Пусть d = 10 см, X = 0,5 мкм. Из условия (5.30) получим, что верхнее предельное значение пространственной частоты, для которого справедливо параболическое приближение, равно § = 113 мм-1.
§ 5. Связь с интегралом Френеля—Кирхгофа
В координатной области решение задачи о дифракции формулируется с помощью интеграла Френеля — Кирхгофа следующим образом: если плоская волна с амплитудой аь распространяющая-
СВЯЗЬ С ИНТЕГРАЛОМ ФРЕНЕЛЯ — КИРХГОФА
127
ся в положительном направлении оси z, падает на предмет с амплитудным пропусканием! (%і,Уі), помещенный в перпендикулярной оси z плоскости z = 0, то комплексная амплитуда света а2 (х2г у2, d) в плоскости z = d имеет вид
-}-оо -f-oo
а«(ж2, уъ d) = 1-^ J J t(xu у і) X
Х±= — оо уі=
X eXp{-W)[^ + ^^^ (5-31)
Вывод интеграла Френеля—Кирхгофа приведен, например, в книге [5.3]. Через 0 обозначен угол между положительным направлением оси z и отрезком прямой, соединяющим ТОЧКИ (X1, ZZ1, O)
ФИГ. 5.4. Схема, поясняющая обозначения в ин-
теграле Френеля — Кирхгофа.
и (%2і У21 d), a cos 0 называют коэффициентом наклона. Геометрическая схема, используемая при выводе интеграла Френеля — Кирхгофа, приведена на фиг. 5.4. Следует отметить, что небольшие изменения граничных условий приводят к изменению коэффициента наклона. Коэффициент наклона, введенный Зоммерфель-дом, совпадает с входящим в (5.31), тогда как у Кирхгофа он равен (1 + cos 0)/2. Если угол 0 не слишком велик, то различие между этими коэффициентами мало.
Заметим, что выражение (5.31) имеет форму интеграла свертки, т. е. для нахождения комплексной амплитуды света при z = d необходимо подвергнуть операции свертки амплитудное пропускание t (х, у) со второй функцией под знаком интеграла в (5.31). Это соответствует умножению в (5.26) фурье-образа пропускания
Предыдущая << 1 .. 35 36 37 38 39 40 < 41 > 42 43 44 45 46 47 .. 230 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed